Степенные ряды.

Функциональные ряды.

Знакопеременные ряды.

Знакочередующиеся ряды

Теорема (Лейбница):
Если в знакочередующемся ряде _n=1∑^∞ (-1)^n-1a_n члены таковы, что a₁>a₂>a₃>...>a_n>..., т.е. образуют убывающую последовательность и при этом lim a_n=0, то исходный знакочередующийся ряд сходится, при этом его сумма положительна и не превосходит первого члена.

 

Вывод:
Если знакочередующийся ряд удовлетворяет теореме Лейбница, то он является сходящимся нетрудно оценить ошибку, которая получается при замене его суммы S частичной суммой S_n. При этом отбрасывается ряд, начиная с a_n+1, но т.к. сумма отброшенного ряда не превышает первого из отброшенных членов, то и ошибка при замене S на S_n не превышает по абсолютной величине первого из отброшенных элементов ряда.

 

Определение:
Ряд называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные элементы.
Очевидно, что знакочередующийся ряд, является частным случаем знакопеременного. Никаких общих приёмов для знакопеременных рядов не существует.

 

Пусть a₁+a₂+a₃+...+a_n+... (1) - знакопеременный ряд, где члены ряда a_i могут быть как положительными, так и отрицательными. Соответствующий ему знакоположительный ряд будет иметь вид: |a₁|+|a₂|+|a₃|+...+|a_n|+... (2)
Теорема:
Если знакопостоянный ряд (2), соответствующий ряду (1) - сходится, то и заданный знакопеременный ряд (1) сходится.

 

Вывод:
Исследование вопроса о сходимости знакопеременного ряда может быть сведено к исследованию ряда с положительными членами, но эта теорема является лишь достаточным признаком и не даёт необходимого условия сходимости знакопеременного ряда. Доказано, что существуют такие знакопеременные ряды, которые сходятся, а соответствующие им знакоположительные ряды - нет.
В связи с этим рассматривают понятия абсолютной и условной сходимости знакопеременного ряда.

 

Пусть u₁(x), u₂(x), ..., u_n(x), ... - некоторая бесконечная последовательность функций, определённых на некотором множестве X принадлежащем R.
Определение:
Ряд вида u₁(x)+u₂(x)+...+u_n(x)+...=₁∑^∞ u_n(x), членами которого являются функции называется функциональным.
Каждому значению х₀ принадлежащего X соответствует некоторый числовой ряд ₁∑^∞ u_n(x₀). Этот числовой ряд может сходиться или расходиться. Если ряд ₁∑^∞ u_n(x₀) сходится, то точка x₀ называется точкой сходимости числового ряда. Множество точек сходимости функционального ряда называются его областью сходимости (обозначается D и D принадлежит X). Если множество D Ø, то ряд расходится на всей своей области определения X.

Определение:
Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

 

a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ+...=_n=0∑^∞ a_nxⁿ,

где a₀, a₁, a₂, ...,a_n, ... - коэффициенты ряда, некоторые числа, задаваемые формулой, аналогичной формуле общего члена числового ряда.
Стоит заметить, что числовой ряд ₀∑^∞ a_nxⁿ всегда сходится в точке х=0, а значит область его сходимости всегда является непустым множеством.
Теорема (Абеля):
Если степенной ряд ₀∑^∞ a_nxⁿ сходится при некотором x=x₀, то он сходится абсолютно при всех x, удовлетворяющих условию |x|<|x₀|. Если ряд расходится при некотором x=x₀, то он расходится для x: |х|>|x₀|.

 

Следствие:
Если степенной ряд _n=0∑^∞ a_nxⁿ сходится, хотя бы в одной точке x≠0, то он сходится для всех x₁ из целого интервала: (-|x₁|,|x₁|). А если ряд расходится при некотором x₂, то ряд будет расходиться для x (-∞,-|x₂|)(|x₂|,+∞).
Очевидно, что рано или поздно интервалы сходимости и расходимости сомкнутся.

 

Определение:
Неотрицательное число R, такое что для x(-R,R) ряд _n=0∑^∞ a_nxⁿ сходится, а для x(-∞,-R) (R,+∞) - расходится называется радиусом сходимости степенного ряда. Интервал (-R,R) - называется интервалом сходимости. При x=±R степенной ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. И, если с помощью дополнительных исследований этот вопрос решён, то получена область сходимости степенного ряда. Если ряд _n=0∑^∞ a_nxⁿ сходится только при х=0, то, очевидно, что R=0, если ряд сходится на всей числовой прямой, то R=∞.

Значение R находится по формуле

R=lim |a_n/a_n+1|.