Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.
Необходимый признак сходимости ряда.
Числовые ряды.
Определение:
Пусть a1,a2,...,an,... - бесконечная числовая последовательность. Выражение вида: a1+a2+...+an+...=(n=1)∑∞ an называется числовым рядом. При этом числа a1,a2,...,an,... называются членами ряда. А число an - n-ым, или общим, членом ряда.
Ряд считается заданным, если известен закон образования его n-го члена.
Определение:
Сумма конечного числа первых n членов ряда (n=1)∑∞ an называется n-ой частичной суммой этого ряда и обозначается: Sn=a1+a2+a3+...+an
Определение:
Если для последовательности частичных сумм Sn числового ряда существует конечный предел, т.е. lim Sn=S<∞, то ряд (n=1)∑∞ an называется сходящимся, а число S - является суммой этого ряда. Если предел Sn не существует (или равен бесконечности), то ряд называется расходящимся.
На сходимость и расходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его членов.
Теорема:
Если ряд (n=1)∑∞ an сходится, то lim an=0.
Относительно практики эта теорема является достаточным условием расходимости числового ряда, т.е. если lim an≠0, то (n=1)∑∞ an - расходится.
Положительного вывода о сходимости из одного необходимого признака никогда сделать нельзя.
I. Признак сравнения.
Пусть заданы два ряда:
a1+a2+...+an+...=(n=1)∑∞ an
b1+b2+...+bn+...=(n=1)∑∞ bn
Если для любого i выполняется ai≥bi, то ряд (n=1)∑∞ an называется мажорантным по отношению к ряду (n=1)∑∞ bn, а ряд (n=1)∑∞ bn - минорантным по отношению к (n=1)∑∞ an.
Теорема(1):
Если мажорантный ряд сходится, то и минорантный ряд также сходится.
Теорема(2) (достаточный признак расходимости):
Если минорантный ряд расходится, то и мажорантный к нему ряд также расходится.
Замечание:
Признак сравнения даёт ответ только в двух случаях из четырёх возможных при работе с двумя рядами.
Чтобы сравнивать ряды необходимо иметь такие ряды для сравнения, про которые заранее известно о их сходимости или расходимости. К самым популярным из них относятся:
1. Ряды, составленные из членов геометрической прогрессии, про которые известно, что при |q|<1 они сходятся, а при |q|≥1 - расходятся.
2. Обобщённые гармонические ряды ((n=1)∑∞ 1/nα), которые сходятся при α>1 и расходятся при α≤1.
Особо стоит отметить гармонический ряд при α=1, который является расходящимся!
II. Признак д'Аламбера.
Теорема:
Если в ряде с положительными членами отношение (n+1)-го члена (аn+1) к an при n→∞ имеет конечный предел, т.е. lim (аn+1/аn)=l<∞, то, в зависимости от значения предела l, доказано следующее:
1) l<1 - ряд сходится;
2) l>1 - ряд расходится;
3) l=1 - результат не определён.
III. Интегральный признак Коши
Если члены знакоположительного ряда не возрастают, то вопрос о сходимости или расходимости ряда может быть решён с помощью так называемой "производной функции", где f(1)=a1, f(2)=a2, ..., f(n)=an. При этом, если 1∫+∞ f(x)dx - сходится, то ряд также сходится, а если 1∫+∞ f(x)dx - расходится, то и ряд - расходится.