Моменты инерции простых сечений

Рис. 4.7

Рис. 4.6

Рис. 4.5

 

Рассмотрим, как изменяются моменты инерции сечения при параллельном переносе координатных осей x и y (см. рис. 4.6). Преобразуя формулы (10), получим:

(11)

 

Если предположить, что оси x₁ и y₁ (см. рис. 4.6) являются цен­тральными, тогда и выражения (11) упрощаются и принимают вид:

(12)

Оси называются центральными, если они проходят через центр тяжести фигуры, т. е. статические моменты относительно этих осей равны нулю. Главными осями инерции фигуры называются оси относительно которых центробежный момент инерции равен нулю. Если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось является главной осью.

Определим осевые моменты инерции прямоугольника относительно осей x и y , проходящих через его центр тяжести (рис. 4.6). В качестве элементарной пло­щадки dА возьмем полоску шириной b и высотой dy (рис. 4.4). Тогда будем иметь:

Аналогичным образом можно установить, что .

Центробежный момент инерции сечения относительно осей, хотя бы одна из которых является осью симметрии, равен нулю.

Для систем, рассматриваемых в полярной системе координат (рис. 4.7, а), вводится также полярный момент инерции:

.

где - радиус-вектор точки тела в заданной полярной системе ко­ординат.

 

 

Вычислим полярный момент инерции круга радиуса R. На рис. 4.7, a показана элементарная площадка, очерченная двумя ра­диусами и двумя концентрическими поверхностями, площадью

.

Интегрирование по площади заменим двойным интегрировани­ем:

.

Hайдем зависимость между полярным и осевыми моментами инерции для круга. Из геометрии видно (рис. 4.7, б), что

,

следовательно,

.

Так как оси x и y для круга равнозначны, то .

Полярный момент инерции кольца может быть найден как разность моментов инерции двух кругов: наружного (радиусом R) и внутреннего (радиусом r):

.

Размерность моментов инерции L⁴. Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным, равным нулю.

Для фигур, имеющих более двух осей симметрии, осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой. К таким фигурам относятся равносторонний треугольник, квадрат, круг и т.д.

 

Вычислим моменты инерции простейших фигур.