Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка

Лекция 9.2. Дифференциальные уравнения высших порядков

План:

1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка.

2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

На практике достаточно часто сталкиваются необходимостью уметь решать дифференциальные уравнения не первого, а более высокого порядка т.е. дифференциальные уравнения, в которые входят вторая, третья и другие производные искомой функции.

Рассмотрим три типа уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка, т.е. позволяющие свести их решение или к интегрированию, или к решению двух дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Уравнение вида решается последовательным двукратным интегрированием правой части:

или

Заметим, что уравнение n-го порядка решается последовательным n-кратным интегрированием, понижая на каждом шаге порядок уравнения. Окончательное решение содержит n произвольных постоянных.

Пример. Решить уравнение

Решение. Последовательно интегрируя два раза данное уравнение, получим

2. Уравнение вида не содержащее явно искомой функции у, подстановкой где новая неизвестная функция приводится к уравнению первого порядка: где . Решая это уравнение, получаем общее решение в виде или Общее решение уравнения будет иметь вид

Пример. Решить уравнение .

Решение… Положим тогда Уравнение перепишется:

или или

Решим ДУсРП путем интегрирования обеих частей, получим или где постоянная

Так как получим: или

Интегрируя, получим или общее решение данного уравнения.

3. Уравнение вида , не содержащее явно независимую переменную х, подстановкой где новая неизвестная функция приводится к уравнению , где Решая это уравнение, получим общее решение или Общее решение уравнения будет иметь вид