Основные виды дифференциальных уравнений первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши

 

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

(8.2)

Если это уравнение разрешено относительно , то это уравнение имеет вид: или

Для дифференциального уравнения существует несколько видов решений: общее решение, частное решение и особое решение.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция зависящая от и от одной произвольной постоянной, и обращающая это уравнение в тождество.

Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется всякое решение , полученное из общего решения при фиксированном значении .

Задача Коши - задача нахождения частного решения дифференциального уравнения при заданном начальном условии: при

Tеорема 8.1. Если в уравнении функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D на плоскости содержащей некоторую точку то существует единственное решение этого уравнения удовлетворяющее условию при

Геометрический смысл теоремы заключается в следующем: существует и при том единственная функция график которой проходит через точку .

Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида

где функции только от а функции только от называется уравнением с разделяющимися переменными(ДУсРП).

Для отыскания решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной окажутся в одной части равенства, а переменной у – в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства и получить общее решение исходного уравнения:

Пример. Решить уравнение:

Решение. Это ДУсРП, т.к. при и при стоят произведение функций, каждая из которых зависит либо только от либо только от

Разделим обе части уравнения на произведение

или

или

 

Однородные дифференциальные уравнения

 

Понятие однородного уравнения связано с однородными функциями.

Функция называется однородной функцией n-го порядка относительно переменных x и y, если при любом числа имеет место равенство:

Пример:Выяснить, являются ли однородными функции:

а)б)в) г)

Решение. а) Так как то данная функция однородная 1-го порядка.

б) Так как то данная функция однородная 3-го порядка.

в) Так как то данная функция однородная 0-го порядка.

г) Так как то данная функция неоднородная.

Однородным дифференциальным уравнением первого порядка (ОДУ) называется уравнение вида:где однородные функции одинакового порядка

или

Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если функция однородная нулевого порядка.

Решение ОДУ проводится путем введения новой переменной или что позволяет свести это уравнение к ДУсРП.

Пример. Решить уравнение

Решение. Убедимся, что это ОДУ. Действительно,

а

а

Преобразуем исходное уравнение к виду:

Введем новую переменную тогда

Получим:

разделим переменные

проинтегрируем

пусть

общее решение ОДУ.

 

Линейные дифференциальные уравнения. Уравнение Бернулли

 

Линейнымдифференциальным уравнением первого порядка (ЛДУ) называется уравнение, линейное (то есть первой степени) относительно y и вида:

(8. 5)

 

где и заданные функции от (или постоянные).

Особенность ЛДУ первого порядка – искомая функция у и ее производная входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.

Решение ЛДУ сводится к решению двух ДУсРП подстановкой где функции от одна из которых может быть выбрана произвольно, а другая определяется уравнением (…).

Пусть тогда Подставим в уравнение (…).Получим

Выберем функцию таковой, что выражение в скобках обратилось в нуль: . Это будет первое вспомогательное уравнение – ДУсРП относительно функции . Решая его, получим частное решение – ( можем взять любое частное решение, например, при ). Подставим в уравнение… получим второе вспомогательное уравнение –ДУсРП относительно функции или Решая второе уравнение, находим общее решение в виде Подставляя, таким образом найденные, функции и в формулу окончательно получаем решение ЛДУ:

Пример…. Найти общее решение уравнения

Решение. Это ЛДУ, в котором Будем искать решение в виде Подставляя и в исходное уравнение, получим:

Решаем первое вспомогательное уравнение получим

Подставляя найденную функцию получим второе вспомогательное уравнение Таким образом, общее решение исходного ЛДУ имеет вид

Уравнение Бернулли имеет вид: Оно отличается от ЛДУ тем, что в правую часть входит множитель функция в некоторой степени, и решается так же, как и ЛДУ подстановкой