Степенные ряды.

 

Степенные ряды являются частным случаем функциональных рядов, и имеют вид:

 

(6)

где const

или

- частный случай (6.1),

когда ряд расписан по степеням .

 

Суммой степенного ряда называется функция f(x)=(*), если этот предел существует.

 

Теорема 1: Если f(x) непрерывная функция, являющаяся пределом (*),

то коэффициенты ряда (6) для f(x) определены единственным образом (однозначно).

 

Теорема 2:Если f(x) непрерывная функция на [], то ряд (6) можно почленно интегрировать, причем сумма интегралов от членов ряда будет равна интегралу от суммы ряда.

 

 

Теорема 3:Сходящиеся степенные ряды можно почленно дифференцировать, причем полученный ряд будет сходиться к дифференцируемой сумме.