Ряд Фурье в комплексной форме

Ряд Фурье очень компактно записывается в комплексном виде, если воспользоваться формулами Эйлера:

.

Подставив это в формулу (22), сделаем ряд преобразований:

,

где .

Если вспомнить, как определяются через функцию f(x) коэффициенты Фурье a_n и b_n (формулы (20), (21)), то комплексные коэффициенты Фурье (комплексные амплитуды) окажутся равными

.

Если функция имеет период не 2p, а 2l, то по аналогии с формулой (23) получим

,

где .

В данном представлении экспоненты с мнимым показателем степени являются пространственными (если х - координата) или временными (если х - время) гармониками. Множитель называется соответственно волновым числом (k) или циклической частотой (w). Совокупность чисел - это соответственно пространственный или частотный спектр, который является дискретным.

Если функция непериодическая, то можно считать, что для неё l ® ¥. Для этого случая преобразуем комплексные амплитуды таким образом:

, где .

При очень больших l и изменении n на единицу k изменится на очень небольшую величину . Обозначим левую часть равенства через с(k) = . В результате получим . При этом сама функция преобразуется так:

.

Теперь в интеграле волновое число k (или частота w) принимает уже не дискретные значения, а меняется непрерывно. Величина с(k) называется непрерывным спектром волновых чисел (пространственный спектр). Соответственно, если независимая переменная - время, то с(w) называется частотным спектром.

В дифференциальных уравнениях используется преобразование Лапласа:

.

В теории рядов есть похожее преобразование Фурье:

и обратное преобразование Фурье:

.

Эти формулы можно рассматривать как разложение функции в интеграл Фурье.

 

К началу К содержанию К титулу