Тригонометрические ряды

План лекции

7.1. Тригонометрические ряды

7.2. Ряды Фурье

7.3. Ряд Фурье в комплексной форме

 

 

7.1.1. Общие представления

 

Поведение многих механических, электрических и других колебательных процессов при отсутствии потерь описывается тригонометрической функцией

,

где А₀ - амплитуда колебаний, - фаза, w₀ - собственная частота колебаний, j₀ - начальная фаза колебаний. Такое колебание называется простой гармоникой с периодом . Если кроме собственных колебаний объект участвует ещё в движении под действием внешней периодической силы с циклической частотой w₁, то его поведение будет описываться уже такой функцией

.

Это результирующее колебание будет периодическим, если у двух колебаний есть общий период Т, т.е. если найдутся такие целые числа т₀ и т₁ такие, что , где . Другими словами, частоты для этого должны быть соизмеримы: .

Если на объект действуют n периодических сил, то колебание будет периодическим, если выполняются равенства .

Отсюда следует вывод, что произвольное периодическое колебание можно представить как конечную или бесконечную сумму простых гармоник. Значит, любую периодическую функцию можно записать в виде тригонометрического ряда, состоящего из косинусов и синусов.

Функциональный ряд вида

,

где , , и – постоянные числа называется тригонометрическим рядом. Заметим, что функции и имеют период 2p/n, а значит, общим периодом для всех функций в тригонометрическом ряде является 2p. Разложение функций в тригонометрические ряды называется гармоническим анализом, так как этим достигается представление какого-либо сложного периодического процесса в виде простых гармонических колебаний.

7.1.2. Ортогональная система функций

Система функций называется ортогональной в интервале (а, b), если интеграл от произведения любых двух различных функций системы равен нулю:

. (12)

Система функций называется ортонормированной, если

.

Оказывается, тригонометрические функции образуют ортогональную систему функций в интервале (-p, p). Покажем это, вычислив ряд интегралов.

1) ; (13)

2); (14)

3); (15)

4) (16)

;

5) (17)

.

Как видим условие (12) выполняется, поэтому тригонометрические функции cos nx и sin mx являются ортогональными. А ортонормированную систему образуют функции и .