Вторая теорема двойственности

Пусть даны две взаимно двойственные задачи. Если каждую из этих задач решать сим­плексным методом, то необходимо привести их к каноническому виду, для чего в систему ограничений задачи I (в краткой записи ) следует ввести т неотрица­тельных переменных , а в систему ограничений задачи II () – n неотрицательных переменных , где – номер неравенства, в которое введена дополнительная переменная .

Системы ограничений каждой из взаимно двойственных задач примут вид:

.

Установим соответствие между первоначальными переменны­ми одной из двойственных задач и дополнительными перемен­ными другой задачи (таблица).

Переменные исходной задачи I
Первоначальные	Дополнительные
Дополнительные	Первоначальные
Переменные исходной задачи II

Теорема. Положительным (ненулевым) компонентам оптимально­го решения одной из взаимно двойственных задач соответствуют нулевые компоненты оптимального решения другой задачи, т.е. для любых u : если , то ; если , то , и аналогично,

если , то ; если , то .

Из данной теоремы следует важный вывод о том, что вве­денное соответствие между переменными взаимно двойственных задач при достижении оптимума (т.е. на последнем шаге решения каждой задачи симплексным методом) представляет соответствие междуосновными (как правило, не равными нулю) переменными одной из двойственных задач инеосновными (равными нулю) переменными другой задачи, когда они образуют допустимые базисные решения.

Вторая теорема двойственности. Компоненты оптимального решения двойственной задачи равны абсолютным значениям коэффи­циентов при соответствующих переменных линейной функции исход­ной задачи, выраженной через неосновные переменные ее оптимально­го решения.

Замечание. Если в одной из взаимно двойственных задач нару­шается единственность оптимального решения, то оптимальное решение двойственной задачи вырожденное. Это связано с тем, что при нарушении единственности оптимального решения исходной задачи в выражении линейной функции ее опти­мального решения через неосновные переменные отсутствует хотя бы одна из основных переменных.