Геометрическая интерпретация комплексных чисел

 

Известно, что между множеством упорядоченных пар действительных чисел и множеством всех точек плоскости может быть установлено взаимно однозначное соответствие.

Представим комплексное число как упорядоченную пару действительных чисел . Следовательно, каждому комплексному числу может быть поставлена в соответствие точка плоскости , и наоборот.

Это дает возможность рассматривать комплексные числа как точки координатной плоскости, которую называют комплексной плоскостью.

Ось абсцисс называется действительной осью (на ней расположены точки, соответствующие числам ), ось ординат – мнимой осью (на ней лежат точки, соответствующие мнимым числам ).

 

 

 

0

 

Часто удобно истолковывать комплексное число как вектор . Это позволяет дать простое геометрическое истолкование операциям над комплексными числами:

1) при сложении комплексных чисел их радиус-векторы складываются (по правилу параллелограмма),

2) при вычитании к.ч. их радиус-векторы вычитаются;

3) модуль разности к.ч. есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам;

4) - модуль суммы комплексных чисел не превосходит суммы модулей чисел-слагаемых

 

 

 

0

 

Пример.Дать геометрическое истолкование сумме и разности комплексных чисел и .

· Модулем комплексного числа называется длина соответствующего этому числу вектора:

.

Комплексные числа, имеющие один и тот же модуль , соответствуют точкам комплексной плоскости, расположенным на окружности радиуса с центром в начале координат.

 

 

Зная модуль числа, можно однозначно задать комплексное число можно, задав направление вектора с помощью величины угла .

· Аргументом комплексного числа называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором .

Величина угла считается положительным, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если по часовой стрелке.

Аргумент к.ч., в отличие от модуля, определяется не однозначно. Например, аргументами к. ч. являются углы , , и, вообще, каждый из углов , где - произвольное действительное число. Любые два аргумента отличаются на число, равное .

 

 

Таким образом,

, где ,

 

· Главным значением аргумента к.ч. называется наименьшее по модулю значение аргумента, причем .