Действия над комплексными числами в алгебраической форме

 

Введем на множестве комплексных чисел отношение равенства двух чисел, а также операции сложения, вычитания, умножения и деления.

· Два комплексных числа и называются равными, если равны их действительные и мнимые части:

,

В частности, , .

Заметим, что:

1) одно равенство комплексных чисел равносильно двум равенствам и действительных чисел;

2) понятия «больше», «меньше» для комплексных чисел не определяются.

 

· Суммой (разностью) комплексных чисел и называется комплексное число

.

Пример. Найти сумму комплексных чисел и .

Решение. .

 

Операция сложения комплексных чисел обладает свойствами:

1. (переместительный закон)

2. (сочетательный закон)

3.

4. Для каждого комплексного числа существует такое число , которое в сумме дает нуль: . Оно называется противоположнымкомплексным числом для и обозначается . Таким образом, .

 

· Произведением комплексных чисел и называется комплексное число

.

Отсюда получаем важное соотношение:

, то есть .

Не стоит запоминать формулу умножения – правило умножения получается формально путем умножения двучленов и с учетом .

Пример. Найти произведение комплексных чисел и .

.

 

Операция умножения комплексных чисел обладает свойствами:

1. (переместительный закон)

2. (сочетательный закон)

3. (распределительный закон)

4. Произведение взаимно сопряженных комплексных чисел и равно квадрату их модуля: .

 

· Частным от деления комплексного числа на комплексное число () называется комплексное число, равное

.

Найдем действительную и мнимую части частного двух комплексных чисел. Домножим числитель и знаменатель на число , сопряженное знаменателю:

Сама формула громоздка и трудно запоминается. Поэтому проще умножить числитель и знаменатель дроби на , то есть на число, сопряженное знаменателю, и произвести преобразования.

Пример. Найти частное от деления комплексного числа на число .

.