Равномерная сходимость

 

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [a, b], если для всякого e > 0 можно найти такой номер N, что при n > N и любом х на отрезке [a, b] будет выполнено неравенство .

Признак равномерной сходимости Вейертрасса. Функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке [a, b], если существует сходящийся числовой ряд с положительными членами такой, что .

Ряд называется мажорирующим (усиливающим), или мажорантой.

Пример. Ряд равномерно сходится для х Î R, так как мажоранта () сходится, так как является обобщённым гармоническим рядом Дирихле с показателем степени большим единицы (см. пример п. 4.2.3.5).

Перечислим важные свойства равномерно сходящихся рядов.

1. Если ряд из непрерывных функций равномерно сходится в области D, то его сумма есть непрерывная функция в этой области.

2. Равномерно сходящийся ряд можно почленно интегрировать, т.е. .

3. Если ряд, составленный из производных сходящегося ряда, сходится равномерно, то его можно почленно дифференцировать, т.е. .

Пример. Можно ли почленно дифференцировать функциональный ряд ?

Решение. Исходный ряд равномерно сходится по признаку Вейертрасса, так как мажорирующий ряд сходится. Однако ряд, составленный из производных его членов, расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда, заключающееся в стремлении к нулю общего члена ряда при стремлении n к бесконечности:

.

Вывод: исходный ряд почленно дифференцировать нельзя.