Знакопеременные ряды

 

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные члены.

Составим ряд из модулей членов этого ряда:

. Получился положительный ряд.

Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда: если сходится ряд, образованный из модулей членов данного знакопеременного ряда, то сходится и данный ряд.

В этом случае знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся.

Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся.

Пример.Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Данный ряд знакопеременный, т.к. sinn может быть как положительным, так и отрицательным при различных n.

Составим ряд из модулей его членов:

.

Этот ряд положительный, поэтому его можно исследовать с помощью признака сравнения. Так как ≤ , а ряд сходится по признаку Даламбера (см. п. 4.2.3.3.). Значит, ряд с меньшими членами также сходится, а данный ряд сходится абсолютно.

Все привыкли думать, что сумма не зависит от порядка слагаемых. И это действительно так, когда речь идёт о конечном числе слагаемых. С бесконечными суммами, т.е. с рядами, нужно быть осторожнее. Оказывается, сумма ряда может меняться при изменении порядка его членов, еслиряд сходится условно. Покажем это на примере знакочередующегося гармонического ряда.

Пример. Известна сумма такого ряда:

.

В данном ряде переставим местами слагаемые, воспользовавшись тем, что их бесконечно много:

Получилось, что число равно его половине, т.е. абсурд. Так произошло потому, что исходный ряд был условно сходящимся (действительно, ряд, составленный из модулей его членов, является гармоническим и расходится), а для такого ряда сумма может зависеть от порядка слагаемых. И, безусловно, для конечной суммы подобная перестановка была бы невозможна, потому что мы брали в скобках одно положительное слагаемое и два отрицательных, и тогда отрицательные члены закончились бы быстрее.

Кстати, при другой какой-то перестановке можно было получить и иной результат. Например, если в скобках поставить два положительных слагаемых и одно следующее отрицательное, то сумма будет такой:

.

Для условно сходящихся рядов справедлива теорема Римана: посредством надлежащего изменения порядка членов не абсолютно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий наперёд заданную сумму, или даже расходящийся ряд.

 

4.3.1. Знакочередующиеся ряды

Рассмотрим ряд

, где все > 0. Такой ряд называется знакочередующимся, и он является частным случаем знакопеременного ряда.

Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница): если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена ряда.

Следствие. Остаток ряда по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого члена остатка. Это свойство используется в приближённых вычислениях функций, интегралов и т.д.

Доказательство. Запишем, к примеру, частичную сумму ряда, состоящую из чётного числа слагаемых:

.

Так как по условию члены ряда убывают, то все скобки здесь положительны. И получается, что, с одной стороны, возрастает с ростом k, а с другой, не превышает первого члена а₁. По теореме Больцано-Вейерштрасса имеет предел.

При исследовании сходимости знакопеременного ряда следует сначала использовать признак Лейбница, а затем проверить, сходится ли ряд, составленный из модулей членов этого ряда. После этого сделать вывод, сходится ряд абсолютно или условно.

Пример.Исследовать сходимость ряда .

Решение. Этот ряд знакочередующийся. Члены ряда обладают следующими свойствами:

1) модули членов ряда монотонно убывают: > > > … ;

2) общий член ряда стремится к нулю:

.

Следовательно, по признаку Лейбница данный ряд сходится.

Теперь составим ряд из модулей членов данного ряда: . Так как общий член этого ряда содержит только степени n, исследуем его по признаку сравнения в предельной форме. При больших n =~=, т.е. наш ряд нужно сравнивать с гармоническим рядом , который расходится. Вычислим предел

.

Значит, ряд тоже расходится.

Получилось, что исходный ряд сходится, а ряд из модулей расходится. Следовательно, исходный ряд является условно сходящимся.