Пример 1. Исследовать совместность системы уравнений
Решение.A = . Найдем r(А). Так как матрица А имеет порядок 3х4, то наивысший порядок миноров равен 3. При этом все миноры третьего порядка равны нулю (проверить самостоятельно). Значит, r(А) < 3. Возьмем главный базисный минор = -5-4 = -9 ≠ 0. Следовательно r(А) =2.
Рассмотрим матрицу С = .
Минор третьего порядка ≠ 0. Значит, r(C) = 3.
Так как r(А) ≠ r(C) , то система несовместна.
Пример 2. Определить совместность системы уравнений
Решить эту систему, если она окажется совместной.
Решение.
A = , C = . Oчевидно, что r(А) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Так как detC = 0, то r(C) < 4. Рассмотрим минор третьего порядка, расположенный в левом верхнем углу матрицы А и С: = -23 ≠ 0. Значит, r(А) = r(C) = 3.
Число неизвестных в системе n=3. Значит, система имеет единственное решение. При этом четвертое уравнение представляет сумму первых трех и его можно не принимать во внимание.
По формулам Крамера получаем x1 = -98/23, x2 = -47/23, x3 = -123/23.
2.4. Mатричный метод. Mетод Гаусса
Систему n линейных уравнений с n неизвестными можно решать матричным методом по формуле X = A-1B (при Δ ≠ 0 ), которая получается из (2) умножением обоих частей на А-1.
Пример 1. Решить систему уравнений
матричным методом ( в параграфе 2.2 эта система была решена по формулам Крамера)
Решение. Δ = 10 ≠ 0 А = - невырожденная матрица.
= (убедитесь в этом самостоятельно, произведя необходимые вычисления).
A-1 = (1/Δ)х= .
Х = A-1В = х= .
Ответ: .
С практической точки зрения матричный метод и формулы Крамера связаны с большим объемом вычислений, поэтому предпочтение отдается методу Гаусса, который заключается в последовательном исключении неизвестных. Для этого систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной расширенной матрицей (все элементы ниже главной диагонали равны нулю). Эти действия называют прямым ходом. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).
Пример 2. Методом Гаусса решить систему
(Выше эта система была решена по формуле Крамера и матричным методом).
Решение.
Прямой ход. Запишем расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований приведем ее к треугольному виду:
~ ~ ~ ~ .
Получим систему
Обратный ход. Из последнего уравнения находим х3 = -6 и подставим это значение во второе уравнение:
х2 = - 11/2 - 1/4 х3 = - 11/2 – 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.
Подставляя далее х2 = -4, х3 = -6 в первое уравнение системы, получим:
х1 = 2 - х2 + х3 = 2+4-6 = 0.
Ответ: .
2.5. Общее решение системы линейных уравнений
Пусть дана система линейных уравнений = bi(i =). Пусть r(A) = r(C) = r, т.е. система совместна. Любой минор порядка r, отличный от нуля, является базисным минором. Не ограничивая общности, будем считать, что базисный минор располагается в первых r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) строках и столбцах матрицы А. Отбросив последние m-r уравнений системы, запишем укороченную систему:
которая эквивалентна исходной. Назовем неизвестные х1,….хr базисными, а хr+1,…, хr свободными и перенесем слагаемые, содержащие свободные неизвестные, в правую часть уравнений укороченной системы. Получаем систему относительно базисных неизвестных:
koтоторая для каждого набора значений свободных неизвестных хr+1 = С1,…, хn = Сn-r имеет единственное рeшение х1( С1,…, Сn-r),…, хr(С1,…, Сn-r), находимое по правилу Крамера.
Соответствующее решение укороченной, а следовательно, и исходной системы имеет вид:
Х(С1,…, Сn-r) = - общее решение системы.
Если в общем решении свободным неизвестным придать какие-нибудь числовые значения, то получим решение линейной системы, называемое частным.
Пример. Установить совместность и найти общее решение системы
Решение. А = , С = .
Так как r(A) = r(C) = 2 (убедитесь в этом самостоятельно), то исходная система совместна и имеет бесчисленное множество решений (так как r < 4).
Выберем в качестве базисного минор . Тогда неизвестные х1 и х2 - базисные; х3 и х4 - свободные, а укороченная система имеет вид
Полагая х3 = С1, х4 = С2 и решая укороченную систему относительно базисных неизвестных, получаем:
х1 = 3/4- 1/4 С1 + 7/4 С2,
х2 = 1/2+ 3/2 С1 – 1/2 С2.
Следовательно, общее решение исходной системы имеет вид:
Х(С1;С2) =
2.6. Системы однородных уравнений
Система однородных уравнений = 0 (i =) всегда является совместной, так как r(A) = r(C).
Одним из решений системы однородных уравнений является тривиальное решение х1 = х2 = … = хn = 0.
Для однородной системы важно установить, имеет ли она ненулевые решения. Из теоремы Кронекера – Капелли следует, что система однородных уравнений имеет ненулевое (нетривиальное) решение тогда и только тогда, когда r(A) < n, где n – число неизвестных.
Пример 1. Определить, имеет ли система однородных уравнений
ненулевое решение. Найти это решение, если оно имеется.
Решение. detA = = 0, значит, r(A) < 3.
Минор = 6 ≠ 0 r(А) = 2. Значит, рассматриваемая система имеет ненулевые решения. Найдем их. Запишем второе и третье уравнения системы в виде х2 = 3 х1, х3 = - х1 - бесчисленное множество решений.