Разложение показательной функции .

Некоторых элементарных функций

Основные разложения в ряд Маклорена

Для разложения функции в ряд Маклорена находим последовательно производные и вычисляем значение функции и её производных в точке .

, , , .... , , ,...

, , , ... , , , ...

По формуле Маклорена имеем:

, где
, .

Кроме того, составим ряд Маклорена для функции :

Как нетрудно установить, полученный степенной ряд сходится на всей числовой оси:

, если – любое фиксированное число.

А тогда, по необходимому признаку сходимости ряда общий член ряда стремится к нулю при , т.е. , а тогда и , так как для всех фиксированных значений величина – есть величина конечная.

Итак, сумма такого ряда Маклорена есть сама функция, для которой этот ряд построен, т.е.

Если положить , то получим: .

2. Разложение синуса и косинуса.

Пусть . Тогда имеем:

, , , , , ....

, , , , , ... и т.д.

Поэтому ряд Маклорена для функции имеет вид:

.

Этот ряд действительно имеет своей суммой функцию при любом значении , так как остаточный член формулы Маклорена стремится к нулю при . В самом деле: , где – есть функция либо со знаком “+” или “–”, следовательно , но правая часть данного неравенства является общим членом сходящегося при любых значениях ряда Маклорена для функции , поэтому она (правая часть) стремится к нулю при для любых фиксированных . Т.е. . И тогда сумма полученного ряда равна самой функции: , .

Аналогично получаем:

, .

Из представления функций в виде рядов Маклорена видны характерные степени “” для чётной функции – чётные степени, для нечётной функции – нечётные степени.

Замечание. Последнее представление функции можно было бы получить из представления в виде ряда Маклорена для путём почленного дифференцирования.

Полученные разложения и удобны для вычисления приближённых значений и . Причём для малых значений достаточно взять немного членов разложения, чтобы достичь требуемую точность вычисления.