ЛЕКЦИЯ №3

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И ИХ РЕШЕНИЕ

 

Учебные вопросы:

1. Полная система уравнений Максвелла, граничные условия. Интегральная форма уравнений Максвелла.

2. Решение уравнений Максвелла, волновых уравнений. Теорема запаздывающих электродинамических потенциалов.

3. Уравнения Максвелла в комплексной форме.

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Изучив основные свойства статических и стационарных полей, являющихся частным случаем проявления переменного ЭМП, рассмотрим само ЭМП в общем виде и его свойства. ЭМП - это вид материи, оказывающий силовое воздействие на заряженные частицы, характеризуемый неразрывно связанными друг с другом и меняющимися во времени электрическим и магнитным полями. Используя знания основных уравнений электрического стационарного поля и магнитного поля постоянного тока, получим полную систему уравнений Максвелла (англичанин, 1831-1879. В 1857 - труд "О фарадеевских силовых линиях").

Уравнения Максвелла – основа описания любых электромагнитных полей во всевозможных устройствах средств РТО, поэтому знание этих уравнений – фундамент для грамотной эксплуатации радиоэлектронных средств

1. ПОЛНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА, граничные условия. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

 

Рассмотренные нами поля: - ЭЛСТ, создаваемое неподвижными и неизменными во времени зарядами (, ); стационарное МП постоянного тока ( ), являются частными случаями электромагнитного поля (ЭМП) (рис.1).

Ясно, что уравнения для ЭЛСТ поля и уравнения для стационарного МП должны вытекать из некоторых обобщенных уравнений, справедливых для ЭМП в целом. Следовательно, необходимо получить систему уравнений, описывающих ЭМП заряженных частиц, состояние которых характеризуется скоростью их движения v и величиной заряда, являющегося функцией времени, т.е. .

Заметим сразу, что полный вывод уравнений Максвелла мы опускаем. Оставим только отправные точки и конечный результат.

Исходя из уравнения непрерывности , и учитывая, что, например, в диэлектрике помимо тока проводимости присутствует также ток смещения, можно получить первое уравнение Максвелла (I УМ)

,

устанавливающее связь между переменным во времени электрическим полем и возникающим вокруг него магнитным полем.

Физический смысл: МП возникает не только при движении зарядов, когда имеет место ток проводимости, но и при наличии изменяющегося во времени электрического поля.

Второе уравнение Максвелла (II УМ) вытекает из закона ЭМ индукции Фарадея (1831г.)

согласно которому, если через поверхность , ограниченную проводящим контуром , проходит меняющийся во времени магнитный поток Ф, то в контуре возникает ЭДС индукции. II УМ имеет вид:

.

Физический смысл: В ЭМП электрическое поле является вихревым. Причиной ЭП, помимо электрических зарядов, является изменяющееся во времени МП.

Итак, полная система дифференциальных уравнений, описывающих ЭМП, включает в себя следующие уравнения:

 

Вспомогательные уравнения:

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

Интегральным аналогом первого уравнения Максвелла является так называемый закон полного тока или теорема циркуляции (Циркуляция вектора по замкнутому контуру интегрирования равна полному току , протекающему через площадь, охваченную контуром интегрирования).

Физический смысл: Токи смещения наравне с токами проводимости образуют магнитное поле. Закон изменения ЭП во времени определяет закон распределения МП в пространстве.

Интегральным аналогом второго уравнения Максвелла является закон электромагнитной индукции

Физический смысл: Переменное магнитное поле образует вихревое электрическое поле. Закон изменения МП во времени определяет закон распределения ЭП в пространстве.

Интегрируя 3-е уравнение Максвелла по объему и применяя формулу Остроградского-Гаусса, получим:

Это равенство называется теоремой Гаусса: поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность определяется электрическим зарядом q, содержащимся в объеме V, ограниченном поверхностью S.

Подобным образом получим интегральную запись последнего уравнения Максвелла

,

выражающую непрерывность линий магнитной индукции. Итак, полная система уравнений Максвелла в интегральной форме имеет вид:

Отметим, что уравнения Максвелла в дифференциальной форме справедливы лишь тогда, когда параметры среды либо не зависят от координат, либо являются непрерывными функциями их. Уравнения Максвелла в интегральной форме применимы во всех случаях, включая и те, когда параметры среды, или хотя бы один из них, изменяются скачками.

 

2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА, ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ. ТЕОРЕМА ЗАПАЗДЫВАЮЩИХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ПОТЕНЦИАЛОВ

Впервые предположение о том, что ЭМ возмущения носят волновой характер было высказано Фарадеем в 1832 г. Теоретическим подтверждением предположения Фарадея о существовании ЭМВ послужила система уравнений Максвелла.

В настоящее время известно, что если какое-либо явление описывается волновым уравнением Даламбера

, (1)

то его решение

(2)

представляет собой пару бегущих волн, распространяющихся соответственно вдоль и против с постоянной скоростью v. Физический смысл имеет только первое слагаемое, то есть

(2а)

Это уравнение описывает функцию, изменение которой происходит не моментально, а через время задержки tз =r/v. Эта функция является запаздывающей. Распространение электромагнитного поля происходит не моментально, а с задержкой. Эти положения теории дальнего действия на основе ограничений Зоммерфельда получили название теоремы запаздывающих электродинамических потенциалов.

Рассмотрим первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме. Применив операцию rot к обеим частям этого уравнения, используя формулы векторного анализа и принимая во внимание 2 и 4 уравнения Максвелла, получим

. (3)

Аналогично можно показать, что (из II УМ)

. (4)

Для пространства, свободного от зарядов и токов ( r=0, j=0), эти уравнения преобразуются к виду

(5, 6)

т.е. переходят в однородные волновые уравнения.

Уравнения (3)...(6) имеют вид (2) и носят волновой характер. Сравнивая (3...6) с (1), можно записать, что .

 

С этого момента мы имеем право говорить об ЭМ волнах, которые распространяются в пространстве со скоростью

.

Рассмотрим основную задачу электродинамики.

Пусть в некотором объеме задано распределение токов и зарядов, и необходимо определить ЭМП, создаваемое ими. Для этого необходимо решить систему уравнений Максвелла относительно H и E, или, что то же самое, векторные волновые уравнения (3,4) или (5,6). Каждое из этих уравнений распадается на систему из трех скалярных, поэтому общий объем требуемых рассуждений и выкладок оказывается довольно громоздким. Более просто определить H и E с помощью так называемых электродинамических потенциалов j и .

Известно, что для электростатического поля

, (7)

а для магнитного поля постоянного тока

. (8)

Очевидно, для ЭМП эти соотношения видоизменяются. Определим их.

Учитывая (8), второе УМ можно записать

,

или

.

Тогда по аналогии с тем, как мы поступили при рассмотрении свойств электростатического поля, и учитывая, что ЭЛСТ поле - частный случай ЭМП, можно записать

, (9)

откуда

аналогично .

Из этого равенства следует, что электрическая составляющая ЭМП одновременно связана со скалярным j и векторным потенциалами. Т.е. зная j и , можно определить Е и Н в соответствии с выражениями (8) и (9).

К дальнейшему упрощению приводит введение потенциала Герца на основе уравнений связи .

Вектор Герца Г также удовлетворяет векторному волновому уравнению

.

Если вектор Герца Г найден, то Е и Н определяются

, ,

Потенциалы j и А, входящие в решение, удовлетворяют уравнению (2а), поэтому называются запаздывающими потенциалами.

Таким образом, можно решить основную задачу электродинамики, зная скалярный и векторный потенциалы и вводя вспомогательный вектор Герца.

 

3.УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

Будем рассматривать гармонические ЭМП, создаваемые гармоническими токами и зарядами. В средствах радиосвязи используются узкополосные радиосигналы, модели которых в радиотехнике принято считать квазигармоническими узкополосными сигналами. Их записывают в гармонической форме.

Для анализа таких колебаний удобно воспользоваться символическим методом. Согласно этому методу, гармоническая функция a=Amcos(wt-j), где a- мгновенное значение функций; Am – амплитуда; w – угловая частота; j- начальная фаза, может быть заменена комплексной

где – комплексная амплитуда.

Запишем мгновенное значение для векторов в комплексной форме

Подставим их в уравнения Максвелла

– I УМ в комплексных амплитудах.

Аналогично

– II УМ в комплексных амплитудах.

Однородные волновые уравнения

где - коэффициент распространения (волновое число).

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, уравнения Максвелла полностью описывают ЭМП и позволяют решить задачу по определению составляющих поля. Граничные условия позволяют находить компоненты ЭМП в разных граничащих средах, зная параметры среды. Основные теоремы электродинамики позволяют определить расход энергии на распространение радиоволн и возможность проведения экспериментов с моделями, а не с реальными объектами.