Основные понятия

Ряды Фурье

Метод Гаусса – Жордана.

2. Метод простых итераций

3. Метод Зейделя.

3) методом Гаусса – Зейделя.

Если является функцией периодической, то естественно раскладывать ее в функциональный ряд также по периодическим функциям, например, по косинусам и синусам.

Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида:

(1)

числа называются коэффициентами тригонометрического ряда;

или, в более общем виде, ряд:

, (2)

где – постоянное число.

Тригонометрические ряды широко применяются для изучения различных периодических процессов в электротехнике, радиотехнике, в теории упругих механических колебаний и во многих других областях естествознания и техники. Разложение функций в тригонометрический ряд называется гармоническим анализом, ибо этим достигается разложение какого-либо сложного периодического явления на простые гармонические колебания.

Примерно с середины XVIII в. Д. Бернулли, Ж. Даламбер, Ж. Лагранж и Л. Эйлер, изучавшие некоторые проблемы математической физики, оказались вовлеченными в дискуссию по поводу возможности представления «произвольной» -периодической функции в виде тригонометрического ряда (1). В начале XIX в. работы французского математика Ж. Б. Фурье открыли новую эпоху в развитии теории тригонометрических рядов. Фурье мог представить в виде суммы тригонометрического ряда (в настоящее время называемого рядом Фурье) любую функцию, которую ему в то время могли предложить. Дальнейшее изучение рядов Фурье учеными разных стран способствовало развитию теории интегрирования, теории дифференциальных уравнений, функционального анализа.

В XIX в. разложения функций в ряды Фурье использовались в основном для решения задач математической физики и дифференциальных уравнений в частных производных. Применение метода разделения переменных (метода Фурье) для решения уравнения колебания струны подробно описано в учебнике [1] и более сжато – в методических указаниях [5].

Исторически проблема разложения функции в тригонометрический ряд формулировалась очень просто. Пусть дано равенство:

, (3)

где – известная -периодическая функция. Каковы должны быть коэффициенты ряда и какие дополнительные условия на функцию требуется наложить, чтобы равенство (3) было справедливо?

Формулы коэффициентов тригонометрического ряда, порождаемого данной функцией , впервые были получены Фурье. Способ получения был красив и одновременно нестрог, ибо предполагалось, что функциональный ряд можно почленно интегрировать.

6.2. Вывод формулы для а₀.

Домножим левую и правую части равенства (3) на , являющуюся первой функцией ПТС (11). Имеем:

. (4)

Проинтегрируем обе части равенства (4) почленно на отрезке и воспользуемся ортогональностью функций. Получаем цепочку преобразований:

В итоге имеем уравнение , из которого получаем .

6.3. Вывод формул для a_k, b_k.

Домножим левую и правую части равенства (4) на одну из функций вида при некотором фиксированном N. Имеем:

. (5)

Проинтегрируем обе части равенства (5) почленно на отрезке и воспользуемся свойством ортогональности. Получаем:

В итоге имеем уравнение , из которого получаем .

Аналогичным образом можно установить, что , откуда .

В итоге наших преобразований получены формулы коэффициентов тригонометрического ряда (1), соответствующего функции :

; (6) , ; (7)

, . (8)

Опр. Коэффициенты, определяемые формулами (6) – (8) называются коэффициентами Фурье функции , а тригонометрический ряд (1) с такими коэффициентами – рядом Фурье функции .

Для интегрируемой на отрезке функции записывают

(9)

и говорят: функции соответствует ее ряд Фурье. Если ряд Фурье сходится, то его сумму обозначим .