Значение теоремы для практики.

Сущность теоремы Чебышева

Хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от их математических ожиданий( средних), среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу- среднему арифметическому математических ожиданий.

Иными словами , отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеяно достаточно большого числа независимых случайных величин( дисперсии которых ограничены), т.е. ограничены рассеяния случайных величин) утрачивает характер случайной величины (т.к. можно предвидеть , какое значение примет среднее арифметическое ) .

Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева является ярким примером , подтверждающим учение диалектического материализма о связи между случайностью и необходимостью.

 

Теорема Чебышева имеет громаднейшее практическое значение.

Так, на ней основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности исследуемых объектов.

Например:1) оценивает качество данной массы зерна по сравнительно небольшой пробе ( проба содержит все же достаточно много зерен, чтобы проявлялось действие закона больших чисел);

2) о качестве кипы хлопка заключают по большому пучку хлопка, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы.

Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных величин. Если случайная величина x представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин , влияние каждого из которых на всю сумму ничтожно мало, то x имеет распределение близкое к нормальному.

Задача.

Для определения средней урожайности колхозного поля S=2000га взято на выборку по 1м² с каждого га. По каждому га поля дисперсия не превышает 10, вычислить вероятность того, что отклонение средней выборки урожайности от средней урожайности по всему полю не более чем на 0,25 ц.

n = 2000га

с = 10

e= 0,25

0,92