Числовые характеристики дискретных случайных величин

Определение 1Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности

.

Для бесконечной случайной величины: .

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине:

M[C]=C, где С=const.

2. Числовой множитель можно выносить за знак математического ожидания:

M[CX]=C·M[X].

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин Х и У равно произведению их математических ожиданий:

М[XY]= M[X] · M[Y].

5.Математическое ожидание суммы двух случайных величин Х и У равно сумме их математических ожиданий: М[X+Y]= M[X] + M[Y].

6.Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

М(X-M[X])=0.

Математическое ожидание любой случайной величины Х представляет собой среднее арифметическое всех возможных значений этой величины.

Определение 2.Дисперсией дискретной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения значений величины от ее математического ожидания:

.

Характеристиками рассеивания возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднеквадратичное отклонение.

Среднеквадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

.

Дисперсия обладает следующими свойствами.

1. Дисперсия константы равна нулю: D[C]=0, где С=const.

2. При увеличении случайной величины в С раз ее дисперсия увеличится в C² раз: D[CX]=C²·D[X].

3. Дисперсия суммы (разности) двух независимых случайных величин Х и У равна сумме из дисперсий: D[X+Y]= D[X] + D[Y].

4. Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат ее математического ожидания: D[X]= M[X²] – (M[X])².