Множественная линейная регрессия
Рис. 1. Линии регрессии Y по Х и X по Y в системе прямоугольных координат
Линии регрессии пересекаются в точке О (х, у), с координатами, соответствующими средним арифметическим значениям корреляционно связанных между собой переменных X и Y. Линия АВ, проходящая через точку О, соответствует линейной функциональной зависимости между переменными величинами X и Y, когда коэффициент корреляции между X и Y равен rxy. = 1. При этом наблюдается такая закономерность: чем сильнее связь между X и Y, тем ближе обе линии регрессии к прямой АВ, и, наоборот, чем слабее связь между этими величинами, тем больше линии регресии отклоняются от прямой АВ. При отсутствии связи между X и Y линии регрессии оказываются под прямым углом по отношению друг к другу и в этом случае rxy = 0,
Количественное представление связи (зависимости) между X и Y (между Y и X) называется регрессионным анализом. Главная задача регрессионного анализа заключается, собственно говоря, в нахождении коэффициентов a0, b0, а1 и b1 и определении уровня значимости полученных аналитических выражений (12.1) и (12.2), связывающих между собой переменные X и Y.
Пример 1.В исследовании Ф. Гальтона (который и ввел в науку понятие регрессии) был измерен рост 205 родителей и 930 их взрослых детей (см. таблицу 3.3). При этом, если за Y взять рост ребенка, а за X рост родителя, уравнение регрессии, связывающее рост ребенка с ростом родителей, имеет вид:
(12.14) где X и У средние по всей выборке испытуемых.
Таким образом, зная величины средних по всей выборке и рост одного из родителей — Xi , из уравнения 12.14 можно подсчитать величину Y, т.е. рост ребенка.
Пример2. Психологи выявили взаимосвязь между успешностью обучения математике Y и показателем невербального интеллекта X. Было получено следующее уравнение регрессии:
Y= 1 +0,025 • X (12.15)
Предположим, что показатель невербального интеллекта учащегося равен 132, тогда согласно уравнению регрессии (12.15) можно предсказать его показатель средней успеваемости по математике:
Y= 1 + 0,025 • 132 = 4,3
У другого учащегося показатель невербального интеллекта оказался равен 82, тогда его средняя успеваемость по математике составит:
Y= 1 + 0,025 • 82 = 3,05
Приведем примеры уравнений множественной регрессии. В исследовании Р. Кеттелла было установлено, что эффективность деятельности психолога-практика и психолога- исследователя можно прогнозировать на основе разных характеристик, поскольку уравнения множественной регрессии имеют для них разный вид.
Уравнение множественной регрессии для психолога-практика:
Эфф = 0,72A + 0,29B+ 0,29H+ 0,29N (12.17)
Уравнение множественной регрессии для психолога-исследователя:
Эфф = 0,31А + 0,78B+ 0,47N (12.18)
Где:
А — готовность к контактам,
В — общая интеллектуальность,
Н — ненасыщаемость контактами с другими людьми (социальная смелость, общительность, активность, отзывчивость)
N — умение поддерживать контакт.
Следовательно, для психолога-исследователя не характерно наличие интенсивного общения, в то время как для психолога-практика интенсивное общение оказывается самым значимым
качеством (цит. по В.Н. Дружинин. Экспериментальная психология. М. 1997, с. 36).