Автокорреляция во временных рядах.
Для характеристики динамики изменения экономических показателей часто используется понятие автокорреляции, которая характеризует не только взаимозависимость уровней одного и того же ряда, относящихся к разным моментам наблюдений, но и степень устойчивости развития процесса во времени, величину оптимального периода прогнозирования и т.п.
Степень тесноты статистической связи между уровнями временного ряда, сдвинутыми на t единиц времени определяется величиной коэффициента корреляции 
, так как измеряет тесноту связи между уровнями одного и того же временного ряда, поэтому его принято называть коэффициентом автокорреляции. При этом длину временного смещения называют обычно лагом (t).
Коэффициент автокорреляции вычисляют по формуле
(3.4.12)
Порядок коэффициентов автокорреляции определяет временной лаг: первого порядка (при t= 1), второго порядка (при t= 2) и т. д.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго, третьего и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией. Значения автокорреляционной функции могут колебаться от -1 до +1, но из стационарности следует, что = -. График автокорреляционной функции называется корреллограммой.
Выборочный коэффициент автокорреляции вычисляется по формуле:
(3.4.13)
Для расчета коэффициента автокорреляции по формуле (3.4.12) в Excel можно воспользоваться функцией КОРРЕЛ. Предположим, что базовая переменная включает диапазон А1:А34. Тогда коэффициент автокорреляции равен:
=КОРРЕЛ(А1:А33;А2:А34).
На практике, как правило, при вычислении автокорреляции используется формула (3.4.13).
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка t, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в t моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, то можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и сезонных колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты (f(t)) и сезонной компоненты (S).
Пример 3.4.3. Анализ временного ряда валового внутреннего продукта
Валовой внутренний продукт (ВВП) – представляет собой на стадии производства сумму добавленных стоимостей отраслей экономики, а на стадии использования – стоимость товаров и услуг, предназначенных для конечного потребления, накопления и экспорта.
В качестве исходной информации используются данные: номинальный объем валового внутреннего продукта, млрд. руб. (с 1998 г млн. руб.) – квартальные данные с 1994:1 по 2003:1 (Табл. 3.4.7). График этого ряда приведен на рис.3.4.6.
Рис.3.4.6.
Из него видно, что данные обладают повышающим трендом. Таким образом, уже визуальный анализ позволяет сделать вывод о нестационарности исходного временного ряда.
Проверим данное предположение, вычислим коэффициенты автокорреляции (табл. 3.4.8) и построим график автокорреляционной функции временного ряда ВВП (коррелограмму) (см. Рис. 3.4.7).
Табл. 3.4.7. ВВП[4]
| Дата | 4кв.1994 | 1кв.1995 | 2кв.1995 | 3кв.1995 | 4кв.1995 | 1кв.1996 | 2кв.1996 | 3кв.1996 | 4кв.1996 | 1кв.1997 |
| ВВП | 225.00 | 235.00 | 325.00 | 421.00 | 448.00 | 425.00 | 469.00 | 549.00 | 565.00 | 513.00 |
| № | ||||||||||
| Дата | 2кв.1997 | 3кв.1997 | 4кв.1997 | 1кв.1998 | 2кв.1998 | 3кв.1998 | 4кв.1998 | 1кв.1999 | 2кв.1999 | 3кв.1999 |
| ВВП | 555.00 | 634.00 | 641.00 | 551.00 | 602.00 | 676.00 | 801.00 | 901.00 | 1102.00 | 1373.00 |
| № | ||||||||||
| Дата | 4кв.1999 | 1кв.2000 | 2кв.2000 | 3кв.2000 | 4кв.2000 | 1кв.2001 | 2кв.2001 | 3кв.2001 | 4кв.2001 | 1кв.2002 |
| ВВП. | 1447.00 | 1527.00 | 1697.00 | 2038.00 | 2044.00 | 1922.00 | 2120.00 | 2536.00 | 2461.00 | 2268.00 |
| № | ||||||||||
| Дата | 2кв.2002 | 3кв.2002 | 4кв.2002 | 1кв.2003 | ||||||
| ВВП | 2523.00 | 3074.00 | 2998.00 | 2893.10 | ||||||
| № |
Табл. 3.4.8.
| Автокорреляционная функция | |
| Лаг | Коэффициенты автокорреляции. |
| 0.914 | |
| 0.811 | |
| 0.717 | |
| 0.651 | |
| 0.576 | |
| 0.480 | |
| 0.387 | |
| 0.315 |
Рис. 3.4.7. Коррелограмма.
Коррелограмма автокорреляционной функции в случае стационарного временного ряда должна быстро убывать с ростом t после нескольких первых значений. Рис. 3.4.7 показывает, что исследуемый ряд не является стационарным. Временной ряд валового внутреннего продукта содержит трендовую компоненту.