Многогранники. Точка и прямая на поверхности

Классификация поверхностей

Способы задания поверхности

ПОВЕРХНОСТИ

Лекция 8

Поверхность – абстрактная фигура, не имеющая толщины. Она ограничивает какое-либо тело, состоящее из металла, пластмассы и т.д. Тело конечно, а поверхность может быть бесконечна. Например, шар ограничен сферой; боковой поверхностью конуса является коническая поверхность.

Существует несколько способов задания поверхности, в том числе: кинематический, аналитический и графический.

Внедрение в инженерную практику компьютерных технологий обусловило совместное использование графических и аналитических методов задания поверхностей.

С точки зрения аналитической геометрии:

Поверхность – непрерывное множество точек, координаты которых связаны в декартовой системе координат уравнением вида.

Если – многочлен n-й степени, то поверхность называется алгебраической поверхностью n-го порядка.

Если – трансцендентная функция, то и поверхность называется трансцендентной.

В начертательной геометрии поверхность задается графически, а к ее образованию подходят с точки зрения кинематики:

Поверхность – совокупность непрерывных последовательных положений линий, движущихся в пространстве по определенному закону.

Эта движущаяся линия называется образующей, а линия, по которой она движется, – направляющей.

Поверхность считается заданной, если по одной проекции точки, принадлежащей ей, можно построить вторую проекцию. Совокупность независимых условий, необходимых и достаточных для однозначного определения поверхности, называется определителем поверхности:

,

где F – поверхность,

(Г) – геометрическая часть определителя поверхности – совокупность геометрических фигур, образующих поверхность;

[A] – алгоритмическая часть определителя поверхности – закон перемещения образующей.

Рис. 6.1

 

Например, определитель конической поверхности имеет следующий вид:

,

где l – образующая;

а – направляющая;

S – точка пересечения образующих.

Алгоритмическая часть определителя читается следующим образом:

Любая образующая l пересекает направляющую а и проходит через точку S.

 

На чертеже поверхность может быть задана:

1. Набором элементов, определяющих эту поверхность.

2. Очерком поверхности.

3. Каркасом поверхности.

Очерком поверхности называется проекции контура поверхности на плоскости проекций.

Каркасный способ задания поверхности предполагает, что поверхность можно определить как двупараметрическое множество точек с одной стороны, а с другой – поверхность – однопараметрическое множество линий.

Каркасом (точечным или линейным) называется множество точек или линий, определяющих поверхность.

Каркасным способом задаются такие сложные поверхности с образующими переменного вида, которые нельзя описать математически.

Существует множество различных подходов к классификации поверхностей. Однако главными из них являются следующие критерии:

1. Закон образования поверхности:

- поверхности закономерные – если закон их образования известен и может быть выражен математически;

- незакономерные.

2. Вид образующей:

- поверхности линейные – образующая прямая линия;

- поверхности нелинейные (криволинейные) – образующая кривая линия.

3. Закон движения образующей:

- поверхности переноса – с поступательным движением образующей;

- поверхности вращения – с вращательным движением образующей;

- винтовые поверхности – с винтовым движением образующей.

4. Постоянность (вариабильность) формы образующей:

- поверхности с образующей постоянной формы;

- поверхности с образующей переменной формы.

5. Возможность развертывания поверхности:

- развертываемые – поверхности, совмещаемые с плоскостью без складок и разрывов:

- неразвертываемые.

Очевидно, что любую поверхность можно классифицировать одновременно по нескольким признакам. Например, цилиндрическая поверхность вращения:

1) линейчатая закономерная развертываемая поверхность вращения;

2) циклическая поверхность переноса окружности постоянного радиуса;

3) алгебраическая поверхность второго порядка.

Из всего множества поверхностей в кратком курсе начертательной геометрии мы будем рассматривать только гранные поверхности и поверхности вращения.

Гранные поверхности имеют прямую образующую и ломаную линию в качестве направляющей.

 

У пирамидальной поверхности образующая l, двигаясь по ломаной направляющей а, все время проходит через одну точку S, называемую вершиной.

Образующая призматической поверхности, двигаясь в пространстве по ломаной направляющей, все время остается параллельной самой себе.

Рис. 6.2

Многогранник – пространственная фигура, ограниченная со всех сторон плоскостями (гранями).

Построение проекций точек, принадлежащих боковой поверхности многогранника, осуществляется с помощью образующих и направляющей.

 

Возьмем трехгранную пирамиду и точки D,E, F, лежащие на ее боковой поверхности. Необходимо определить недостающие горизонтальные проекции этих точек:

1) Точки E и F лежат на ребрах пирамиды, следовательно, их горизонтальные проекции будут лежать на горизонтальных проекциях соответствующих ребер.

2) Точка D принадлежит грани пирамиды, поэтому ее недостающую проекцию следует определять с помощью образующей 1-S. Кроме того, из графического условия не ясно, на какой грани находится точка D, ее фронтальной проекции соответствуют две горизонтальные проекции.

Рис. 6.3

Из КЧ видно, что прямая или ломаная линия, принадлежащая поверхности многогранника может быть построена по характерным точкам, которыми являются точки перехода ее через ребра.