Уравнение регрессии

Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, в котором изменение одной величины (называемой зависимой или результативным признаком), обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин (факторов).Вычисляя параметры теоретической линии связи, мы отчасти устраняем влияние случайностей и получаем однозначное (по форме) изменение фактора с изменением фактора .

Теоретической линией регрессии называется линия, вокруг которой группируются точки корреляционного поля и которая указывает основное направление, основную тенденцию связи между признаками. Для взаимного погашения случайных причин линия регрессии проводится так, чтобы сумма отклонений точек поля корреляции от соответствующих точек теоретической линии регрессии равнялась нулю, а сумма квадратов этих отклонений была бы минимальной величиной (метод наименьших квадратов).

Главным основанием для выбора вида уравнения связи должен служить содержательный анализ природы изучаемой зависимости, ее механизма. Однако на основе теоретического анализа обычно могут быть сделаны лишь самые общие выводы относительно направления связи. Необходимым дополнением такого рода предположений должен быть анализ конкретных фактических данных. Одним из элементов конкретных исследований является сопоставление различных уравнений зависимости, основанное на использовании критериев качества аппроксимации эмпирических данных конкурирующими вариантами моделей.

Наиболее часто для характеристики связей экономических показателей используют следующие типы функций:

n линейную

n гиперболическую

n показательную

n параболическую

n степенную

n логарифмическую

n логистическую

Рассмотрим уравнение прямой линии .

Для нахождения параметров и уравнения регрессии используем метод наименьших квадратов: сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть минимальной:

В случае линейной зависимости, получим

Необходимым условием экстремума является равенство нулю частных производных по параметрам. Приравнивая к нулю частные производные функции по параметрам и , получим систему линейных уравнений для нахождения параметров по имеющимся эмпирическим данным:

Параметр в линейном уравнении называюткоэффициентом регрессии. При наличии прямой корреляционной зависимости коэффициент регрессии имеет положительное значение, а в случае обратной зависимости коэффициент регрессии - отрицательный.

Коэффициент регрессии показывает, на сколько в среднем изменяется величина результативного признака при изменении факторного признака на единицу.

Коэффициент регрессии применяют для определениякоэффициента эластичности, который показывает, на сколько процентов изменится величина результативного признака при изменении признака-фактора на один процент.

Коэффициент эластичности в случае линейной зависимости определяется по формуле

Линейный коэффициент корреляции и коэффициент регрессии связаны соотношением:

Наличие этого соотношения дает возможность производить вычисление коэффициента корреляции и параметров уравнения линейной регрессии одновременно.