Аффинное и евклидово точечное пространство.

Пока мы определили пространство, состоящее только из векторов. В этом параграфе у нас появятся точки, и будет установлена связь между точками и векторами.

Пусть дано некоторое множество A, элементы которого будем называть точками и обозначать большими буквами A, B, C… и некоторое векторное пространство Lⁿ. Пусть каждой упорядоченной паре точек A, B сопоставлен вектор x (пишем = x) так, что выполнены следующие аксиомы:

А15." AÎA и "xÎLⁿ$! BÎA такая что =x.

А16.Если = x, = y, то =x+y.

Тогда множество точек A, связанное с Lⁿназывается n-мерным аффинным пространством и обозначается A ⁿ.

Из А15и А16вытекают следующие следствия.

1. Каждой паре одинаковых точек сопоставляется нулевой вектор: =o.

Действительно, пусть x=– любой вектор, а y= . Тогда, согласно А16: x+y= Þ x+y=xÞy=o.

2. Если =x, то =–x.

Действительно, если =y, то согласно А16: =x+yÞ x+y=oÞy=–x.

Пусть OÎA ⁿ– произвольная точка, а B ={e₁, e₂,…, e_n} – базис в Lⁿ. Тогда набор R ={O,e₁, e₂,…, e_n} назовем аффинным репером, а точку O – началом координат. Иногда аффинный репер называют также аффинной системой координат.

Пусть PÎA ⁿ– другая произвольная точка. Тогда вектор назовем радиус-вектором точки P. Разложим этот вектор по базису:

= x₁e₁+ x₂e₂ +…+ x_ne_n .

Тогда набор чисел (x₁, x₂,… x_n) называется координатами точки P в данном репере. Пишем P(x₁, x₂,… x_n)_R. Если Q(y₁, y₂,… y_n)_R– другая точка, то

= y₁e₁+ y₂e₂ +…+ y_ne_n Þ

= – = (y₁– x₁)e₁+ (y₂ – x₂)e₂ +…+ (y_n – x_n)e_n .

Значит,

(y₁– x₁, y₂ – x₂,…, y_n – x_n) . (14)

Таким образом, чтобы найти координаты вектора надо из координат его конца вычесть координаты начала.

Определение.Аффинное пространство A ⁿ, связанное с евклидовым векторным пространством Eⁿ называется точечным евклидовым пространством. Будем обозначать его Eⁿ.

Определение. Система аксиом А1– А16 называется системой аксиом Вейля n-мерного точечного евклидова пространства.

Определение. Система координат в точечном евклидовом пространстве называется ортонормированной, если задающий её базис B ={e₁, e₂,…, e_n} является ортонормированным.

Определение.Расстоянием между точками P и Q в точечном евклидовом пространстве называется модуль вектора . Это расстояние обозначим r(P, Q).

Пусть в Eⁿзадана ортонормированная система координат, относительно которой P(x₁, x₂,… x_n), Q(y₁, y₂,… y_n). Тогда из формул (6) и (14) следует, что расстояние между этими точками вычисляется по формуле

r(P, Q) = .

Можно сказать, что r есть функция, которая сопоставляет двум точкам P, QÎEⁿ число r(P, Q). Отметим, что эта функция обладает следующими свойствами:

1. r(P, Q) = r(Q, P);

2. r(P, Q) + r(Q, R) ³ r(P, R) (неравенство треугольника);

3. r(P, Q) ³ 0, и r(P, Q) = 0 Û P = Q.