Евклидово векторное пространство.

Базис и координаты в векторном пространстве.

Определение. Пусть в векторном пространстве L выполнены еще две аксиомы:

А9.Существуют n линейно независимых векторов;

А10.Любые n +1 векторов линейно зависимы.

Тогда говорим, что векторное пространство L имеет размерность n и пишем dim L = n. Для векторного пространства размерности n используется обозначение Lⁿ.

Определение. Базисом в Lⁿназывается любая система, состоящая из n линейно независимых векторов. Векторы, входящие в базис, называются базисными.

Пусть B ={e₁, e₂,…, e_n} – базис в Lⁿ, а xÎ Lⁿ– любой вектор. Тогда система {x,e₁, e₂,…, e_n} состоит из n +1 векторов, а значит, эти векторы линейно зависимы. Пусть

l_ox +l₁e₁+ l₂e₂ +…+ l_ne_n = o, (*)

и комбинация нетривиальная. Тогда обязательно l_o¹0. Действительно, предположим противное: l_o= 0. Тогда среди l₁, l₂,…, l_n есть хотя бы одно ненулевое число, и мы получаем условие линейной зависимости базисных векторов:

l₁e₁+ l₂e₂ +…+ l_ne_n = o.

Но эти векторы по определению линейно независимы. Противоречие.

Поэтому l_o¹0. Тогда из (*) получаем

x = e₁+ e₂ +…+ e_n .

Обозначим x_i = –l_i /l_o, i = 1,…, n, и получим что

x = x₁e₁+ x₂e₂ +…+ x_ne_n . (2)

Определение. Выражение (2) называется разложением вектора xпо базису B. Числа x₁, x₂,…, x_n называются координатами вектора xв базисе B. Пишем: x(x₁, x₂,… x_n)_B.

Если y = y₁e₁+ y₂e₂ +…+ y_ne_n , то

x + y = (x₁+ y₁)e₁+ (x₂ + y₂)e₂ +…+( x_n + y_n)e_n ,

lx = lx₁e₁+ lx₂e₂ +…+ lx_ne_n .

Таким образом, при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Сопоставим каждому вектору x(x₁, x₂,… x_n) столбец, составленный из его координат:

x(x₁, x₂,… x_n) « X = ,y(y₁, y₂,… y_n) « Y = ,

x + y « X +Y = ,lx « lX = ,

Мы видим, что операциям над векторами соответствуют точно такие же операции над их координатными столбцами. Поэтому с точки зрения линейной алгебры произвольное векторное пространство Lⁿ устроено точно также, как и Rⁿ. Говорят, что Lⁿ изоморфно Rⁿили, что Rⁿявляется моделью пространства Lⁿ.

Замечание. Более точное определение изоморфизма векторных и евклидовых пространств изучается в курсе алгебры. Рекомендуется также ознакомиться с темой, как изменяются координаты вектора при замене базиса.

Определение. Пусть в векторном пространстве L задана ещё одна операция, сопоставляющая двум векторам x и y число x·y, так, что выполнены следующие аксиомы. " x, y, z ÎL и "lÎR

А11. x·y= x·y;

А12. x·(y + z) = x·y+ x·z;

А13.(lx)·y= l(x·y);

А14. x·x³0 и x·x=0 Û x=o.

Тогда данная операция называется скалярным произведением векторов, а пространство L вместе с этой операцией называется евклидовым пространством. Число x²=x·x называется скалярным квадратом вектора x.

Обозначение Eⁿ означает евклидово пространство размерности n.

Если вместо А14 выполнено

А14¢. " xÎL $yÎL такой что x·y¹0,

то пространство L вместе с такой операцией называется псевдоевклидовым пространством.

Определение.Длиной вектора xв евклидовом пространстве называется число |x|=. Углом между векторами x и y называется такое число a, что cos a = . Векторы x и y называются коллинеарными, если $ lÎR такое, что y = lx.

В силу А14|x| – действительное число, и |x|=0 Û x=o. Мы знаем, что |cos a|£1. Поэтому для того, чтобы имело смысл определение угла необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

£1 Û |x·y|£|x|·|y| Û (x·y)²£|x|²·|y|² Û

Û (x·y)²£ (x·x)(y·y) (3)

Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского. Докажем его.

1 случай. Векторы x и y не коллинеарны. Тогда " lÎR y ¹ lx ,т.е.lx + y ¹ o. Тогда согласно А14 " lÎR

(lx + y)·(lx + y) > 0 Û l²(x·x) + 2l(x·y) +y·y> 0

Выражение в левой части неравенства представляет собой квадратный трехчлен относительно переменной l. Поскольку это выражение строго больше нуля, то для его дискриминанта получаем

= (x·x)(y·y) – (x·y)²<0.

Значит, имеет место (1) со строгим неравенством.

2 случай. x||y.Тогда $ lÎR такое, что y = lx. Подставим это равенство в (3):

(x·lx)²£ (x·x)(lx·lx) Û l²(x·x)²£l²(x·x)².

Таким образом, имеет место (3) со знаком равенства.

Попутно мы выяснили, что равенство в (3) достигается тогда и только тогда, когда x||y.

Для векторов в геометрическом пространстве имеет место неравенство треугольника

|x+y|£|x|+|y| (4)

Докажем его для произвольного евклидова пространства. Используя неравенство (1) в виде (x·y)²£|x|²|y|² получаем

|x+y|²=(x+y)·(x+y)=x²+2x·y +y²£ |x|²+2|x|²·|y|²+|y|²=(|x|+|y|)².

Остается извлечь корень из обеих частей неравенства. При этом, равенство в (2) имеет место тогда и только тогда, когда равенство имеет место в (1), т.е. когда x||y.

Определение.Векторы x и y называются ортогональными, если x·y = 0.

Заметим, что только нулевой вектор ортогонален каждому вектору. Действительно, если "yÎEⁿ x·y = 0, то это должно быть выполнено и для y=x, т.е. x·x = 0. В силу А14 это равносильно x=o.

Определение.Система векторов {e₁, e₂,…, e_k}ÎEⁿназывается ортонормированной, если все векторы единичные и взаимно ортогональные, т.е. " i, j = 1…k выполнено e_i·e_j= d_ij= (напомним, что d_ijназывается символом Кронекера).

Предложение. Ортонормированная система векторов линейно независима.

Действительно, пусть

l₁e₁+ l₂e₂ +…+ l_ke_k = o.

Выберем произвольное i =1…k и домножим обе части равенства скалярно на e₁:

(l₁e₁+ l₂e₂ +…+ l_ke_k)·e₁ =o·e_i Û l₁e₁·e₁ + l₂e₂·e₁ +…+ l_ke_k·e₁ = 0

Отсюда

l₁·1 + l₂·0 +…+ l_k·0 = 0 Û l₁ = 0.

Аналогично, домножая на l₂ получим l₂ = 0 и т.д. Итак, l₁= l₂ =…= l_k = 0.

В курсе алгебры доказывается следующая теорема.

Теорема. В Eⁿсуществует ортонормированный базис (ОНБ), т.е. ортонормированная система, состоящая из n векторов (без доказательства).

Пусть B ={e₁, e₂,…, e_n} – ОНБ в Eⁿ, x, yÎEⁿ– произвольные векторы. Пусть x(x₁, x₂,… x_n)_B,y(y₁, y₂,… y_n)_B. Тогда

x·y = (x_ie_i)·(y_je_j) = x_iy_j(e_i·e_j) =x_iy_jd_ij= x_iy_i.

Итак,

x·y = x₁ y₁+ x₂ y₂ +…+ x_n y_n , (5)

т.е. в ОНБ формула для вычисления скалярного произведения такая же, как и в обычном геометрическом пространстве, если координаты заданы в декартовой СК.

Из этой формулы следует, что

|x|= . (6)

Примеры. 1.Пространство V³ с обычным скалярным произведением векторов: · = | |½½ cosÐ( , ) представляет собой евклидово пространство. Аксиомы А11– А14в точности совпадают со свойствами этого произведения. Базис B ={i, j, k} представляет собой ОНБ.

2. В пространстве Rⁿ для столбцов

X = ,Y = .

определим

X·Y = x₁ y₁+ x₂ y₂ +…+ x_n y_n . (7)

Упражнение 1.Проверьте самостоятельно, что при таком определении выполняются А11– А14.

Таким образом, Rⁿсо скалярным произведением (7) представляет собой евклидово векторное пространство. Легко проверить, что столбцы

E₁ = , E₂ = , ..., E_n =

составляют ОНБ.

Мы уже отмечали, что для любого векторного пространства Lⁿ векторное пространство Rⁿ может служить его моделью. Для этого надо в Lⁿвыбрать базис B и каждому вектору x(x₁, x₂,… x_n)_B сопоставить столбец X, составленный из его координат. Тогда линейным операциям над векторами будут соответствовать точно такие же операции над их координатными столбцами. Выберем теперь в евклидовом векторном пространстве EⁿОНБ B ={e₁, e₂,…, e_n} и по тому же принципу сопоставим каждому вектору его координатный столбец:

x(x₁, x₂,… x_n)_B « X = ,y(y₁, y₂,… y_n)_B « Y = .

Тогда x·y = x₁ y₁+ x₂ y₂ +…+ x_n y_n = X·Y . Таким образом, это соответствие сохраняет не только линейные операции над векторами, но и их скалярное произведение. Поэтому говорят, что Eⁿизоморфно евклидову векторному пространству Rⁿили, что евклидово векторное пространство Rⁿявляется моделью пространства Eⁿ.

Пусть теперь базис B ={f₁, f₂,…, f_n} в Eⁿ не является ортонормированным. Как вычислить скалярное произведение векторовx(x₁, x₂,… x_n)_B,y(y₁, y₂,… y_n)_B?

Обозначим g_ij=f_i·f_j, и из этих чисел составим матрицу

G = .

Она называется матрицей Грама базиса B . Эта матрица, очевидно, является симметрической: g_ji=f_j·f_i=f_i·f_j= g_ij. Тогда

x·y = (x_ie_i)·(y_je_j) = x_iy_j(e_i·e_j) =g_ijx_iy_j. (8)

Если использовать координатные столбцы X и Y векторов x и y, то (8) можно переписать в матричном виде:

x·y = X^ТGY = x₁ x₂ … x_n G . (8¢)

Например в двумерном евклидовом пространстве эта формула выглядит так:

x·y == = g₁₁x₁y₁ + g₁₂(x₁y₂ + x₂y₁) + g₂₂x₂y₂.

Если базис ортонормированный, то g_ij=d_ijиG = E (единичной матрице). Отметим ещё, что для любого базиса det G > 0.