Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
Определение. Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число, n-ая степень которого равна z.
, если
.
Получим правило извлечения корня n-ой степени из комплексного числа, записанного в тригонометрической форме, пользуясь определением. Итак, пусть . Найдем
. Имеем по определению
, откуда по формуле Муавра получим
. Так модуль комплексного числа определяется однозначно, а аргумент – с точностью до слагаемого, кратного
, то
и
. Таким образом,
, а
.
Итак, .
Пример. Найти . Запишем число в тригонометрической форме
. Теперь применим формулу
.
Если k=0, то . Если k=1, то
.
Если k=2, то . Если k=3, то
.
Заметим, что при извлечении корня третьей степени получили три различных комплексных числа. Справедлива следующая теорема.
Лемма. Существует ровно n различных корней n-ой степени из комплексного числа. Для получения этих значений достаточно применить формулу для вычисления корня при .
Доказательство. Самостоятельно.
Интересным свойством обладают комплексные корни n-ой степени из единицы. Попробуем получить это свойство, рассматривая пример . Запишем единицу в тригонометрической форме и применим формулу для вычисления корней:
. Получим шесть различных значений. Изобразим их на комплексной плоскости.
Итак, полученные значения оказались вершинами правильного шестиугольника, вписанного в единичную окружность, причем одна из вершин – в точке (1,0).
Это утверждение можно обобщить. Попробуйте сделать это самостоятельно.
Определение. Корень n-ой степени из единицы называется первообразным корнем, если все корни представимы в виде его степени.