Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение. Линейным неоднородным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

(1)

где действительные числа.

Например, уравнение II порядка будет выглядеть так:

(2)

Наша задача найти общее решение линейного неоднородного уравнения (1).

Запишем однородное уравнение, соответствующее (1):

(3)

Обозначим общее решение уравнения (3), а через какое-нибудь частное решение уравнения (1), тогда по теореме о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения (п.14) решение уравнения (1) имеет вид:

Как находить мы знаем, следовательно, остается найти частное решение неоднородного уравнения. Иногда удается найти частное решение линейного неоднородного уравнения по виду правой части, т.е. по виду .

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение II порядка с постоянными коэффициентами:

(2)

Случай I. Пусть правая часть уравнения (2) имеет вид

где многочлен степени п.

Запишем однородное уравнение:

(4)

Характеристическое уравнение

(5)

имеет два корня.

Справедливы следующие утверждения.

1) Если число а не является корнем характеристического уравнения (5), то частное решение уравнения (2) следует искать в виде:

где многочлен с неизвестными коэффициентами той же степени, что и .

2) Если а – корень характеристического уравнения (5) (простой), то

3) Если а – кратный корень уравнения (5), то

Предположим, что нам удалось установить вид частного решения уравнения (2). Оно содержит многочлен с неизвестными коэффициентами, которые находятся методом уравнивания коэффициентов в левой и правой частях уравнения. Для этого находим производные и подставляем их вместе с самой функцией в уравнение (2), получим тождество. Сокращая его на , получим равенство двух многочленов: с одной стороны многочлен с неизвестными коэффициентами , а с другой . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему линейных уравнений, из которой найдем .