Методом вариации произвольных постоянных
Нахождение решения линейного неоднородного уравнения
Этот метод рассмотрим на примере уравнения II порядка:
 .
| (1) |
Запишем однородное уравнение, соответствующее уравнению (1):
 .
| (5) |
Пусть 
и 
фундаментальная система решений уравнения (2), тогда его общее решение 
.
Решение уравнения (1) будем искать так: в 
варьируем произвольные постоянные, т.е. будем считать их функциями от х, т.е. 
.
И потребуем, чтобы функция 
удовлетворяла уравнению (1).
Вычислим производную:
.
.
Потребуем, чтобы выполнилось равенство:
 .
| (А) |
Тогда 
, следовательно,
.
Подставляя 
в уравнение (1), получим тождество:
.
Сгруппируем слагаемые с 
и 
:
Обе скобки равны нулю, так как и решения уравнения (2).
Значит, остается:
 .
| (В) |
Таким образом, чтобы функция 
была решением уравнения (1) достаточно, чтобы выполнялись равенства (А) и (В), т.е. приходим к системе:
| (С) |
Функции 
и 
неизвестные в этой системе. Определитель этой системы – есть вронскиан решений и 
в силу фундаментальности решений 
, значит, система имеет единственное решение:
.
Интегрируя, находим:
.
Подставляя найденные функции в общий вид решения, получаем общее решение линейного неоднородного уравнения:
.
Пример. Решить уравнение: 
.
Решение. Как известно, 
фундаментальная система решений однородного уравнения 
, следовательно:
;
.
Составим систему (С):
.
Находим 
; 
.
Ответ: 
.
Замечание. Для линейного неоднородного уравнения более высокого порядка метод вариации произвольной постоянной применяется аналогично (система будет больше).
16. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами
16.1 Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
Определение. Линейным однородным уравнением п -го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение:
 ,
| (1) |
где 
действительные числа.
Будем искать решение (1) в виде 
.
Найдем производные: 
Подставляя у и его производные в уравнение (1), получим тождество:
.
Сократив все уравнение на 
, приходим к уравнению:
 .
| (2) |
Определение. Уравнение (2) называется характеристическим уравнением уравнения (1). Характеристическое уравнение – это алгебраическое уравнение, имеющее п корней. Корни 
могут быть действительными или комплексными или часть действительными и часть комплексными.
Таким образом, если функция - решение уравнения (1), то число k – решение (корень) уравнения (2) и наоборот.
Пусть дано линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:
.
При замене:
Приходим к характеристическому уравнению:
| .
| (2) |
В зависимости от корней характеристического уравнения (2) будет меняться вид общего решения уравнения (1). Вопрос о структуре общего решения уравнения (1) рассмотрим на примере линейного однородного уравнения II порядка с постоянными коэффициентами:
 ,
| (3) |
где 
действительные числа.
Его характеристическое уравнение имеет вид:
 .
| (4) |
Могут представиться 3 случая.
Случай 1. Пусть корни характеристического уравнения (4) действительные и различные, т.е. 
.
Теорема 1. Если корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение уравнения (3) имеет вид:
где 
и 
постоянные.
Доказательство. Пусть 
корни уравнения (4), 
. Так как уравнение (3) частный случай уравнения (1), то согласно сказанному выше: 
являются частными решениями уравнения (3).
Найдем 
, так как 
, то 
есть функция, значит и линейно независимые функции и образуют фундаментальную систему решений уравнения (3).
По теореме о структуре общего решения линейного уравнения (п.13) утверждаем, что общее решение (3) имеет вид:
.
Теорема доказана.
Пример 1. 
.
Решение. 
.
Ответ: 
.
Случай 2. Пусть корни характеристического уравнения действительные и равные 
.
Теорема 2. Если корни характеристического уравнения (4) действительные и равные k, то общее решение уравнения (3) имеет вид:
.
Доказательство. Пусть корни характеристического уравнения равны между собой и равны k, тогда мы знаем, что функция 
одно из решений уравнения (3) (частное). Так как уравнение второго порядка, то должно быть еще одно решение. Другое частное решение будем искать в виде:
 ,
| (*) |
где 
неизвестная функция, и должны быть линейно независимыми.
Найдем производные :
| (**) |
| (***) |
Подставляя равенства (*), (**), (***) в уравнение (3), получим тождество:
.
Сгруппируем слагаемые с 
и сократим на :
.
Так как 
есть корень характеристического уравнения (4), то последняя скобка равна нулю, кроме того, по теореме Виета: 
.
Остается 
.
Интегрируя это уравнение 2 раза, получаем:
Так как мы ищем второе частное решение уравнения (3), то достаточно в последнем равенстве положить 
.
Тогда 
и 
.
Нетрудно проверить, что 
является функцией, следовательно, и образуют фундаментальную систему решений. Тогда по теореме о структуре общего решения линейного однородного уравнения утверждаем, что:
.
Теорема доказана.
Пример 2. 
Решение. 
. 
.
Ответ: .
Случай 3. Пусть корни характеристического уравнения (4) комплексные: 
.
Сначала докажем лемму.
Лемма. Если функция 
является решением уравнения (3), то ее действительная и мнимая части 
и 
также является решениями этого уравнения.
Доказательство. Пусть 
решение уравнения (3). Найдем производные и подставим их в (3):
.
Сгруппируем все с функцией u и v:
.
Комплексное выражение обращается в 0 тогда и только тогда, когда его действительные и мнимые части равны нулю, т.е.
.
Это говорит о том, что и 
решения уравнения (3).
Лемма доказана.
Теорема 3. Если корни характеристического уравнения комплексные , то общее решение уравнения (3) имеет вид:
.
Доказательство. Пусть 
корни характеристического уравнения (4). Им соответствуют частные решения уравнения (3):
;
.
По формулам Эйлера имеем:
Тогда:
Раскрывая скобки, получим:
Эти функции являются решением (3), но тогда по лемме их действительные и мнимые части также являются решениями уравнения (3).
Таким образом, мы можем взять два частных решения уравнения (3):
Эти решения линейно независимы, т.к. 
. Значит, они образуют фундаментальную систему решений уравнения (3). По теореме о структуре общего решения линейного однородного уравнения II порядка имеем:
, или
.
Теорема доказана.
Замечание. Если корни характеристического уравнения чисто мнимые 
, то полагаем 
и решение имеет вид:
.
Пример 3. 
Решение. 
.
Ответ: .
Обобщим все сказанное выше об уравнении II порядка на линейное однородное уравнение п-го порядка с постоянными коэффициентами. Запишем уравнение:
 .
| (1) |
Его общее решение находится так: записываем характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (1), и находим его корни.
| .
| (2) |
где 
корни.
Частные решения уравнения (1) находим, руководствуясь правилами:
а) если простой действительный корень уравнения (2), то ему соответствует одно частное решение уравнения (1) вида:
.
б) если действительный корень характеристического уравнения (2) кратности s, то этому корню соответствуют s линейных независимых частных решений уравнения (1) вида:
.
в) если 
простой комплексный корень уравнения (2), то сопряженное число 
также простой комплексный корень уравнения (2). Этой паре комплексных чисел соответствуют два линейных независимых частных решения:
.
г) если корень уравнения (2) кратности т, то 
корень уравнения (2) кратности т. Этой паре комплексно сопряженных корней соответствует 2т линейно независимых частных решений уравнения (1):
Следуя пунктам а) – г), мы найдем п линейно независимых решений уравнения (1), а, сложив их, получим общее решение:
.
Пример 4. 
Решение. 
.
.
Ответ: