Метрические задачи теории прямых на плоскости.

Метрическими называются задачи, в которых требуется найти расстояния или углы. Далее все рассматриваемые системы координат предполагаются прямоугольными декартовыми. На произвольные АСК полученные результаты не распространяются.

1. Нормальный вектор прямой. Нормальным вектором n прямой l называется направляющий вектор перпендикуляра к этой прямой (пишут: n^l). Поскольку на плоскости все перпендикуляры к данной прямой параллельны, все нормальные векторы данной прямой на плоскости коллинеарны[19]. Из определения следует также, что нормальный вектор прямой – обязательно ненулевой. Наконец, понятно, что прямая l на плоскости однозначно задается своими точкой и нормальным вектором.

(15.1) Теорема. Уравнение прямой l, заданной точкой М₀(х₀,у₀) и нормальным вектором n(a,b), имеет вид

(15.2) А(х–х₀) + В(у–у₀) = 0

ð М(х,у) Î l Û M₀M ^ n Û M₀M×n = 0 Û А(х–х₀) + В(у–у₀) = 0. ð

(15.3) Теорема. Если прямая l задана уравнением Ах+Ву+С = 0, то вектор n(A,B) является нормальным к ней.

ð Возьмем любую точку М₀(х₀,у₀) Î l. По лемме 14.4 уравнение Ах+Ву+С = 0 равносильно уравнению (15.2). Но в уравнении (15.2) А и В – координаты нормального вектора. ð

2. Расстояние от точки до прямой. (15.4) Задача. Найти расстояние d(M₁,l) от точки М₁(х₁,у₁) до прямой l: Ах+Ву+С = 0.

ð Пусть М₀(х₀,у₀) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М₁ на прямую l. Вектор М₀М₁ коллинеарен нормальному вектору n(A,B) прямой l. Поэтому |М₀М₁×n| = |М₀М₁|×|n|, откуда d(M₁,l) = |М₀М₁| = |М₀М₁×n|/|n| = |А(х₁–х₀) + В(у₁–у₀)|/|n|. Но по лемме 14.4 имеем А(х₁–х₀) + В(у₁–у₀) = Ах₁+Ву₁+С. Следовательно,

(15.5) d(M₁,l) = . ð

Если А²+В² = 1, формула (15.5) приобретает особенно простой вид:

(15.6) d(M₁,l) = |Ах₁ + Ву₁ + С|

В этом случае общее уравнение прямой (14.1) называется нормальным. К нормальному виду можно привести любое уравнение (14.1), разделив обе его части на .

3. Угол между прямыми. Как известно, углом между прямыми a и b называется меньший из двух углов, образованных этими прямыми. Если прямые заданы в определенном порядке, угол между ними естественным образом приобретает ориентацию и называется ориентированным углом между прямыми. Понятно, что величина неориентированного угла между прямыми всегда не меньше 0 и не больше p/2, а ориентированного – не меньше –p/2 и не больше p/2.

(15.7) Лемма. Если прямые а и b пересекаются в точке О, а точки А и В, отличные от О, лежат на а и b соответственно, то ориентированный угол АОВ либо равен ориентированному углу между прямыми а и b, либо отличается от него на p.

ð Если |ÐAOB| £ p/2, то ориентированный угол АОВ по определению равен ориентированному углу между прямыми а и b. Если же |ÐAOB| > p/2, то ориентированный угол между прямыми а и b равен ÐСOВ, где точка С симметрична точке А относительно точки О. В этом случае ÐСOB = ÐСOА + ÐАOВ = p + ÐAOВ (рис. 36). ð

Теперь мы можем вывести формулу для величины j ориентированного угла между прямыми l₁: А₁ х+В₁у+С₁ = 0 и l₂: А₂ х+В₂у+С₂ = 0. Для этого проведем через начало координат параллельные им прямые m₁: А₁ х+В₁у = 0 и m₂: А₂ х+В₂у = 0 и возьмем точки N(1,0)ÎОх, М₁(–В₁,А₁)Îm₁ и М₂(–В₂,А₂)Îm₂. По лемме 15.7 ориентированный угол M₁OM₂ равен j или отличается от j на p. В обоих случаях

tgj = tgÐM₁OM₂ = = =
= =

= .

Упростив последнее выражение, окончательно получаем:

(15.8) tgj = . ð

Формула (15.8) не имеет смысла, если прямые l₁ и l₂ перпендикулярны. В этом случае cosÐM₁OM₂ = 0. Выражая косинус через А₁, В₁, А₂, В₂, после упрощения получаем признак перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями:

(15.9) В₁В₂+А₁А₂ = 0.

4. Угловой коэффициент прямой. Пусть в общем уравнении Ах+Ву+С = 0 прямой l коэффициент В не равен 0 (т.е., прямая l не параллельна оси ординат). Тогда из этого уравнения можно выразить у: у = . Коэффициенты –А/В и –С/В по традиции обозначаются буквами k и b. Число k называется угловым коэффициентом прямой l. Мы показали, что любую прямую, не параллельную оси ординат, можно задать уравнением с угловым коэффициентом:

(15.10) у = kx + b.

Углом наклона прямой называется ориентированный угол между осью абсцисс и этой прямой.

(15.11) Теорема. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла ее наклона.

ð Рассмотрим прямую m: Ах + Ву = 0, проходящую через начало координат параллельно l. Угол наклона j у нее такой же, как у m. Возьмем на прямой l точку М₀(х₀,у₀) так, чтобы ориентированный угол между вектором ОМ₀ и осью абсцисс равнялся j. Тогда х₀ = |ОМ₀|cosj и у₀ = |ОМ₀|sinj, откуда |ОМ₀|(Аcosj+Вsinj) = 0. Из последнего равенства находим, что k = –A/B = sinj/cosj = tgj. ð

В заключение отметим, что с помощью угловых коэффициентов можно несколько упростить некоторые выведенные ранее формулы (правда, после этого их нельзя будет применять к прямым, параллельным оси ординат). Так уравнение центрального пучка прямых (14.5) делением на В приводится к виду

(15.12) у–у₀ = k(x–x₀),

формула (15.8) для ориентированного угла между прямыми делением числителя и знаменателя правой части на В₁В₂ – к виду

(15.13) tgj = ,

а признак перпендикулярности (15.9) делением на В₁В₂ – к виду

(15.14) k₁k₂ = –1 .