Полярные координаты.

1. Еще об ориентированных углах. Напомним, что угол называется ориентированным, если указан порядок, в котором идут его стороны, а величине ориентированного угла на ориентированной плоскости приписывается знак "+", если ориентации угла и плоскости совпадают и знак "–" в противном случае. Ориентацию развернутого угла будем по определению считать положительной. Таким образом, величина любого ориентированного угла на ориентированной плоскости больше –p, но не больше p [13].

Договоримся, что задание угла тремя точками автоматически задает его ориентацию: у угла ВАС первой будем считать сторону АВ. Возьмем ориентированный угол ВАС и отложим от второй его стороны угол САG, равный данному ориентированному углу DEF. Ориентированный угол ВАG называется суммой ориентированных углов ВАС и DEF. Его величина равна сумме величин слагаемых, если последняя больше –p, но не больше p [14]. В противном же случае величина суммы ориентированных углов не равна сумме величин слагаемых, а отличается от нее на величину, кратную 2p [15] (рис. 35). Справиться с этой неприятностью можно, приписав каждому ориентированному углу кроме обычной его величины (дальше мы будем называть ее главным значением величины данного угла), все величины, отличающимися от нее на числа, кратные 2p. Таким образом, у каждого ориентированного угла оказывается бесконечно много величин, и все они получаются из любой заданной его величины a₀ по формуле

(11.1) a = a₀ + 2pk, (kÎZ)

2. Определение полярных координат (ПК). Аппарат ПК состоит из точки О, называемой полюсом, луча [ОА), называемого полярным лучом и выбранной на плоскости ориентации. Орт, сонаправленный полярному лучу, называется полярным вектором. Если выбран аппарат, то полярными координатами точки М считаются расстояние |ОМ|, называемое полярным радиусом, и величина ориентированного угла АОМ, называемая полярным углом. Если берется только главное значение полярного угла, то будем говорить, что полярные координаты понимаются в узком смысле. В противном случае полярный угол определен неоднозначно, с точностью до слагаемого, кратного 2p. Полярный радиус полюса равен 0, а значение его полярного угла не определено (его можно считать любым).

Таким образом, у каждой точки есть бесконечно много различных наборов полярных координат в данной системе ПК. Но для любой пары чисел (r,j), где r > 0, в данной полярной системе координат существует единственная точка М с координатами (r,j). Чтобы построить ее, надо отложить от полярного луча угол j, а потом на втором его луче отложить от точки О отрезок [OM] длины r.

3. Связь полярных и прямоугольных декартовых координат. По каждой системе ПК можно единственным образом построить положительно ориентированный ортонормированный репер R = (O, i, j), где О – полюс, а i – полярный вектор: вектор j получается из вектора i поворотом на p/2 в положительном направлении. Заданную этим репером ПДСК назовем присоединенной к данной ПК. Пусть точка М имеет в ПК координаты (r, j), а в присоединенной ПДСК – координаты (х,у). Чтобы установить связь между этими координатами, рассмотрим такую точку М₀, что ОМ₀ = ОМ/r. Полярный угол у нее такой же, как и у точки М, а полярный радиус равен 1, т.е. она лежит на единичной окружности с центром в полюсе. Поэтому ее координаты в присоединенной ПДСК равны (sinj, cosj), а координаты точки М, у которой ОМ = rОМ₀, равны
(rcosj, rsinj). Итак, координаты точки в ПК и присоединенной ПДСК связаны равенствами

(11.2) x = rcosj, y = rsinj .

Обратно, полярный радиус точки выражается через ее координаты в присоединенной ПДСК по очевидной формуле

(11.3) r = ,

а полярный угол j однозначно (с точностью до 2pk) определяется равенствами

(11.4) cosj = x/r, sinj = y/r .

При этом ни одна из формул (11.4) в отдельности однозначно определить угол j не позволяет.

4. Обобщенные полярные координаты. По определению полярный радиус точки неотрицателен. Иногда возникают ситуации, когда хочется обойти этот запрет. Чтобы сделать это, положим по определению для любого r ³ 0

(11.5) М(–r, j) = М(r, j+p) .

Заметим, что при этом равенство (11.5) оказывается справедливым и для отрицательных r, ибо при r < 0 имеем –r > 0, и из (11.5), "прочитанного справа налево", получаем М(–r, j) = М(–(–r), j–p) = М(r, j–p+2p) = М(r, j+p). Проверьте, что равенства (11.2)–(11.4) при таком обобщении ПК тоже остаются справедливыми.