Доказательство.
По Теореме умножения вероятностей получаем:
Тогда если 
.
Для нахождения вероятности P(A) используем формулу полной вероятности.
Если до испытания все гипотезы равновероятны с вероятностью 
, то формула Бейеса принимает вид:
1.8 Равномерное распределение
Определение. Непрерывная случайная величина имеет равномерноераспределение на отрезке [a, b], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю.
Постоянная величина С может быть определена из условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения.
f(x)
0 a b x
Получаем .
Найдем функцию распределения F(x) на отрезке [a,b].
F(x)
0 a b x
Для того, чтобы случайная величина подчинялась закону равномерного распределения необходимо, чтобы ее значения лежали внутри некоторого определенного интервала, и внутри этого интервала значения этой случайной величины были бы равновероятны.
Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиненной равномерному закону распределения.
Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:
1.9 Условное математическое ожидание
Определение. Условным математическим ожиданиемдискретной случайной величины Y при X = x (х – определенное возможное значение Х) называется произведение всех возможных значений Y на их условные вероятности.
Для непрерывных случайных величин:
,
где f(y/x) – условная плотность случайной величины Y при X=x.
Условное математическое ожидание M(Y/x)=f(x) является функцией от х и называется функцией регрессии Х на Y.
Пример. Найти условное математическое ожидание составляющей Y при
X= x1=1 для дискретной двумерной случайной величины, заданной таблицей:
| Y | X | |||
| x1=1 | x2=3 | x3=4 | x4=8 | |
| y1=3 | 0,15 | 0,06 | 0,25 | 0,04 |
| y2=6 | 0,30 | 0,10 | 0,03 | 0,07 |
Аналогично определяются условная дисперсия и условные моменты системы случайных величин.
1.10 Повторение испытаний. Формула Бернулли
Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.
Допустим, что событие А наступает в каждом испытании с вероятностью Р(А)=р. Определим вероятность Рт,п того, что в результате п испытаний событие А наступило ровно т раз.
Эту вероятность в принципе можно посчитать, используя теоремы сложения и умножения вероятностей, как это делалось в рассмотренных выше примерах. Однако, при достаточно большом количестве испытаний это приводит к очень большим вычислениям. Таким образом, возникает необходимость разработать общий подход к решению поставленной задачи. Этот подход реализован в формуле Бернулли. (Якоб Бернулли (1654 – 1705) – швейцарский математик)
Пусть в результате п независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие А наступает с вероятностью Р(А) = р, а противоположное ему событие 
с вероятностью 
.
Обозначим Ai – наступление события А в испытании с номером i. Т.к. условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны.
Если в результате п опытов событие А наступает ровно т раз, то остальные п-т раз это событие не наступает. Событие А может появиться т раз в п испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из п элементов по т. Это количество сочетаний находится по формуле:
Вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:
Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем Формулу Бернулли
Пример. По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятность того, что в цель попали не менее трех раз.
Вероятность не менее трех попаданий складывается из вероятности пяти попаданий, четырех попаданий и трех попаданий.
Т.к. выстрелы независимы, то можно применить формулу Бернулли вероятности того, что в т испытаниях событие в вероятностью р наступает ровно п раз.
В случае пяти попаданий из пяти возможных:
Четыре попадания из пяти выстрелов:
Три попадания из пяти:
Окончательно, получаем вероятность не менее трех попаданий из пяти выстрелов:
2 Случайные величины.
Выше рассматривались случайные события, являющиеся качественной характеристикой случайного результата опыта. Для получения количественной характеристики вводится понятие случайной величины.
Определение. Случайной величинойназывается величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно.
Случайные величины можно разделить на две категории.
2.1 Закон распределения дискретной случайной величины
Определение. Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).
Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.
Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.
Определение. Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
Для задания случайной величины недостаточно просто указать ее значение, необходимо также указать вероятность этого значения.
Определение. Соотношение между возможными значениями случайной
величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной
случайной величины.
Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.
Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется
рядом распределения.
Графическое представление этой таблицы называется многоугольником
распределения. При этом сумма все ординат многоугольника распределения
представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а,
следовательно, равна единице.
Пример. По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого
выстрела равна 0,4. Найти вероятности числа попаданий и построить многоугольник
распределения.
Вероятности пяти попаданий из пяти возможных, четырех из пяти и трех из
пяти были найдены выше по формуле Бернулли и равны соответственно:
 ,  , 
Аналогично найдем:
Пример. В первой коробке содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй
коробке 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой коробки наугад извлекли по одному шару,
а затем из этих двух шаров наугад берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар
белый.
Вероятность того, что взятый из первой коробки шар белый -  что не
белый -  .
Вероятность того, что взятый из второй коробки шар белый -  что
не белый - 
Вероятность того, что повторно выбран шар, извлеченный из первой коробки и
вероятность того, что повторно выбран шар, извлеченный из второй коробки, равны 0,5.
Вероятность того, что повторно выбран шар, извлеченный из первой коробки, и
он белый - 
Вероятность того, что повторно выбран шар, извлеченный из второй коробки, и
он белый - 
Вероятность того, что повторно будет выбран белый шар, равна
Пример. Имеется пять винтовок, три из которых снабжены оптическим
прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит цель при выстреле из винтовки с
оптическим прицелом, равна 0,95, для винтовки без оптического прицела эта
вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что цель будет поражена, если
стрелок произведет один выстрел из наугад выбранной винтовки.
Вероятность того, что выбрана винтовка с оптическим прицелом, обозначим
 , а вероятность того, что выбрана винтовка без оптического прицела, обозначим
 .
Вероятность того, что выбрали винтовку с оптическим прицелом, и при
этом цель была поражена  , где Р(ПЦ/O) – вероятность поражения
цели из винтовки с оптическим прицелом.
Аналогично, вероятность того, что выбрали винтовку без оптического
прицела, и при этом цель была поражена  , где Р(ПЦ/БO) –
вероятность поражения цели из винтовки без оптического прицела.
Окончательная вероятность поражения цели равна сумме вероятностей Р1 и Р2,
т.к. для поражения цели достаточно, чтобы произошло одно из этих несовместных
событий.
Пример. Трое охотников одновременно выстрелили по медведю, который был
убит одной пулей. Определить вероятность того, что медведь был убит первым
стрелком, если вероятности попадания для этих стрелков равны соответственно 0,3, 0,4,
0,5.
В этой задаче требуется определить вероятность гипотезы уже после того, как
событие уже совершилось. Для определения искомой вероятности надо воспользоваться
формулой Бейеса. В нашем случае она имеет вид:
В этой формуле Н1, Н2, Н3 – гипотезы, что медведя убьет первый, второй и третий
стрелок соответственно. До произведения выстрелов эти гипотезы равновероятны и их
вероятность равна  .
P(H1/A) – вероятность того, что медведя убил первый стрелок при условии, что выстрелы
уже произведены (событие А).
Вероятности того, что медведя убьет первый, второй или третий стрелок,
вычисленные до выстрелов, равны соответственно:
Здесь q1 = 0,7; q2 = 0,6; q3 = 0,5 – вероятности промаха для каждого из стрелков,
рассчитаны как q = 1 – p, где р – вероятности попадания для каждого из стрелков.
Подставим эти значения в формулу Бейеса:
Пример.Последовательно послано четыре радиосигнала. Вероятности приема
каждого из них не зависят от того, приняты ли остальные сигналы, или нет.
Вероятности приема сигналов равны соответственно 0,2, 0,3, 0,4, 0,5. Определить
вероятность приема трех радиосигналов.
Событие приема трех сигналов из четырех возможно в четырех случаях:
Для приема трех сигналов необходимо совершение одного из событий А, В, С
или D. Таким образом, находим искомую вероятность:
Пример. Двадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые
не повторяются. Экзаменующийся знает ответы только на 35 вопросов. Определить
вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два
вопроса одного билета или на один вопрос одного билета и на указанный дополнительный
вопрос из другого билета.
В общей сложности имеется 40 вопросов (по 2 в каждом из 20 билетов).
Вероятность того, что выпадает вопрос, на который ответ известен, очевидно, равна  .
Для того, чтобы сдать экзамен, требуется совершение одного из трех событий:
1) Событие A – ответили на первый вопрос (вероятность ) и ответили на второй
вопрос (вероятность  ). Т.к. после успешного ответа на первый вопрос остается еще
39 вопросов, на 34 из которых ответы известны.
2) Событие В – на первый вопрос ответили (вероятность ), на второй – нет
(вероятность  ), на третий – ответили (вероятность  ).
3) Событие С – на первый вопрос не ответили (вероятность  ), на второй –
ответили (вероятность  ), на третий – ответили (вероятность ).
Вероятность того, что при заданных условиях экзамен будет сдан равна:
Пример. Имеются две партии однородных деталей. Первая партия состоит из
12 деталей, 3 из которых - бракованные. Вторая партия состоит из 15 деталей, 4
из которых – бракованные. Из первой и второй партий извлекают по две детали.
Какова вероятность того, что среди них нет бракованных деталей.
Вероятность оказаться не бракованной для первой детали, извлеченной из первой
партии, равна  , для второй детали, извлеченной из первой партии при
условии, что первая деталь была не бракованной -  .
Вероятность оказаться не бракованной для первой детали, извлеченной из
второй партии, равна  , для второй детали, извлеченной из второй партии
при условии, что первая деталь была не бракованной -  .
Вероятность того, что среди четырех извлеченных деталей нет бракованных, равна:
Рассмотрим тот же пример, но несколько с другим условием.
Пример.Имеются две партии однородных деталей. Первая партия состоит из 12
деталей, 3 из которых - бракованные. Вторая партия состоит из 15 деталей, 4 из которых –
бракованные. Из первой партии извлекаются наугад 5 деталей, а из второй – 7 деталей.
Эти детали образуют новую партию. Какова вероятность достать из них бракованную
деталь?
Для того, чтобы выбранная наугад деталь была бы бракованной, необходимо выполнение
одного из двух несовместных условий:
1) Выбранная деталь была из первой партии (вероятность -  ) и при этом она –
бракованная (вероятность -  ). Окончательно:
2) Выбранная деталь была из второй партии (вероятность -  ) и при этом она –
бракованная (вероятность -  ). Окончательно:
Окончательно, получаем: .
Пример. В урне 3 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимают наугад два шара.
Найти вероятность того, что эти шары не одного цвета.
Событие, состоящее в том, что выбранные шары разного цвета произойдет в
одном из двух случаев:
1) Первый шар белый (вероятность -  ), а второй – черный (вероятность -  ).
2) Первый шар черный (вероятность -  ), а второй – белый (вероятность -  ).
Окончательно получаем: 
|
2.2 Биноминальное распределение
Если производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одинаковой вероятностью р в каждом из испытаний, то вероятность того, что событие не появится, равна q = 1 – p.
Примем число появлений события в каждом из испытаний за некоторую случайную величину Х.
Чтобы найти закон распределения этой случайной величины, необходимо определить значения этой величины и их вероятности.
Значения найти достаточно просто. Очевидно, что в результате п испытаний событие может не появиться вовсе, появиться один раз, два раза, три и т.д. до п раз.
Вероятность каждого значения этой случайной величины можно найти по формуле Бернулли.
Эта формула аналитически выражает искомый закон распределения. Этот закон распределения называется биноминальным.
Пример. В партии 10% нестандартных деталей. Наугад отобраны 4 детали. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди четырех отобранных и построить многоугольник полученного распределения.
Вероятность появления нестандартной детали в каждом случае равна 0,1.
Найдем вероятности того, что среди отобранных деталей:
1) Вообще нет нестандартных.
2) Одна нестандартная.
3) Две нестандартные детали.
4) Три нестандартные детали.
5) Четыре нестандартных детали.
 |
Построим многоугольник распределения.
Пример.Две игральные кости одновременно бросают 2 раза. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях.
Каждая игральная кость имеет три варианта четных очков – 2, 4 и 6 из шести возможных, таким образом, вероятность выпадения четного числа очков на одной кости равна 0,5.
Вероятность одновременного выпадения четных очков на двух костях равна 0,25.
Вероятность того, что при двух испытаниях оба раза выпали четные очки на обеих костях, равна:
Вероятность того, что при двух испытаниях один раз выпали четные очки на обеих костях:
Вероятность того, что при двух испытаниях ни одного раза не выпаде четного числа очков на обеих костях:
2.3 Распределение Пуассона
(Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский математик)
Пусть производится п независимых испытаний, в которых появление события А имеет вероятность р. Если число испытаний п достаточно велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мало (p£0,1), то для нахождения вероятности появления события А k раз находится следующим образом.
Сделаем важное допущение – произведение пр сохраняет постоянное значение:
Практически это допущение означает, что среднее число появления события в различных сериях испытаний (при разном п) остается неизменным.
По формуле Бернулли получаем:
Найдем предел этой вероятности при п®¥.
Получаем формулу распределения Пуассона:
2.4 Числовые характеристики дискретных случайных величин
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, когда невозможно найти закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины. Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.
Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно.
С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.