Различные уравнения прямой на плоскости.

Прямая и плоскость.

Любая прямая на плоскости определяется линейным уравнением

Ах + Ву + С = 0, А² + В² ≠ 0, (9)

которое называется общим уравнением прямой ( здесь А и В – координаты вектора нормали , перпендикулярного этой прямой).

Если прямая задается точкой М(х₁; у₁) и вектором нормали = (А;В), то ее уравнение запишется в виде

А(х – х₁) + В(у – у₁) = 0. (10)

Уравнение прямой, проходящей через две точки М(х₁; у₁) и N(х₂; у₂) имеет вид:

Частным случаем этой формулы является уравнение прямой, проходящей через точки М(а; 0) и N(0; b), называемое уравнением прямой в отрезках:

Каноническим уравнением прямой

лучше пользоваться тогда, когда прямая задана точкой М(х₁; у₁) и направляющим вектором

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид:

y = kx + b, (14)

здесь k = tgθ тангенс угла наклона прямой к оси Ох.

Уравненение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М(х₁; у₁) имеет вид:

y – y₁ = k(x – x₁) (15)

Угол между двумя прямыми l₁ и l₂ вычисляются по формуле:

где k₁ и k₂ – угловые коэффициенты прямых l₁ и l₂_.

Расстояние d от точки М(х₀; у₀) до прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0, вычисляется по формуле:

Уравнение

А₁х + В₁ у + С₁ +(А₂ х + В₂ у + С₂) = 0, (18)

где – числовой множитель, определяет прямую линию, проходящую через точку пересечения прямых

l_i: А_iх + В_i у + С_i= 0, i = 1; 2. (19)

При различных получаются различные прямые, принадлежащие пучку прямых, с центром в точке пересечения прямых l₁ и l_2.

Пусть прямые l₁ и l₂заданы уравнениями (19).

Условия пересечения, параллельности или совпадения этих прямых приведены в следующей таблице.