I. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Плоскость и прямая в прямоугольной системе координат

Дано: , М0(х0, у0, z0), , , П ' М0, П ^ . Найти уравнение П. Решение. М Î П Û либо , либо Û . Так как , то М Î П Û (47) Это векторное уравнение данной плоскости. Рис. 33

Переходя к координатам, получим А(х - х0) + В(у - у0) + С(z - z0) = 0/ (48)

Можно показать, что если плоскость задана в ПДСК общим уравнением (45), то вектор перпендикулярен этой плоскости.

 

II.Угол между двумя плоскостями

Дано: , П1 : А1х + В1у + С1z + D1 = 0, П2 : А2х + В2у + С2z + D2 = 0. Найти один из углов между П1 и П2 . Решение. Из уравнений П1 и П2 следует, что и перпендикулярны плоскостям П1 и П2 соответственно. Если О – точка на линии пересечения П1 и П2, t1 и t2 лежат в плоскостях Рис. 34

П1 и П2, проходят через точку О и перпендикулярны линии пересечения этих плоскостей (рис. 34), то = (П1,П2). Но по свойству углов со взаимно перпендикулярными сторонами либо равен углу , либо дополняет его до 1800. И в том, и в другом случае равен одному из углов между П1 и П2 . Следовательно,

Cos((П1,П2) = (49)

Из формулы (49) следует, что П1 ^ П2 Û = 0.

III.Угол между прямой и плоскостью

Дано: , П : Ах + Ву + Сz + D = 0, t : . Найти один из углов между П и t. Решение. Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость Рис. 35

(рис. 35). Из уравнений прямой и плоскости вектор перпендикулярен плоскости П, а вектор параллелен прямой t . Следовательно, ). Отсюда следует, что

sin(П,= (50)

Из свойств векторов и следует:

П // t Û ; П ^ t Û (51)

 

IV. Расстояние от точки до плоскости