I.Уравнения плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам

Плоскость в аффинной системе координат

Прямая и плоскость в пространстве

Уравнения прямой в пространстве были выведены в пункте 2.2. Это уравнения 14¹ - 18¹ и 19. там же было показано, как приводить общие уравнения прямой к каноническому виду в аффинной системе координат, и исследовано взаимное расположение двух прямых.

 

Дано:R = , М0(х0, у0, z0), , , и неколлинеарны; П ' М0 , П // , П // . Найти условия, определяющие П (рис. 31). Решение. М Î П Û , и компланарны. Так как и неколлинеарны, то М Î П Û либо

Рис. 31

( u,v - любые действительные числа), либо определитель, составленный из координат этих векторов, равен нулю. Перепишем эти условия в координатах. Получим М Î П Û или М Î П Û (39)

Получили два вида уравнений плоскости: уравнение (39) и (40).

Уравнения (40) называются параметрическими уравнениями плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам.

Так как , где и - радиусы-векторы точек М и М₀ соответственно. Тогда уравнение можно переписать (41). Это векторное уравнение плоскости.

II.Уравнения плоскости, проходящей через три данные неколлинеарные точки

Дано: R = , М₁(х₁, у₁,z₁), М₂(х₂, у₂, z₂), М₃(x₃, у₃, z₃), точки M₁, M₂, M₃ не коллинеарные. П É í M₁, M₂, M₃ý.

Найти уравнения П (рис. 32).

Решение. Так как M1, M2, M3 не коллинеарные, то векторы и неколлинеарны. Используя уравнение (41), получим векторное уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: . (42) Используя (40) и (39), получим параметрические уравнения плоскости П и её уравнение в форме определителя.

Рис. 32

(43); (44)