Пучок прямых на плоскости

Определение 24. Пучком прямых на плоскости называется множество всех прямых этой плоскости, проходящих через одну точку. Эта точка называется центром пучка.

Пучок можно задать двумя способами: центром и парой пересекающихся прямых. I.Пучок задан центром. Дано.R = , С(х0, у0) – центр пучка (рис. 28). Найти условие, определяющее пучок. Решение. Прямая l принадлежит пучку с центром С тогда и Рис. 28

только тогда, когда l ' С. При этом направляющим вектором может быть любой ненулевой вектор . Следовательно, l принадлежит пучку Û l : , где m, n – любые действительные числа, не равные одновременно нулю. Итак, пучок с центром С задаётся уравнением (36).

В уравнении (36) две пары переменных. Меняя m, n, мы будем получать все возможные прямые пучка. Если m, n зафиксированы, то зафиксирована прямая пучка. При этом, меняя х, у, мы будем получать все возможные точки на полученной прямой.

II. Пучок задан парой пересекающихся прямых. Дано.R = , l1 : A1x + B1y + C1 = 0, l2 : A2x + B2y + C2 = 0 (рис. 29). Найти уравнение пучка. Решение. Пусть l1 Ç l2 = С и С(х0, у0). Точка С будет центром пучка. Используя уравнение (36) получим, что прямая l принадлежит пучку Û l : . Здесь Рис. 29

вектор - любой ненулевой вектор. Из уравнений прямых l1 и l2 векторы и параллельны прямым l1 и l2 соответственно, поэтому они не коллинеарны. Следовательно, любой вектор , где a, b - любые действительные числа, не равные нулю одновременно. Отсюда . Уравнение (36) перепишется . После преобразования получим:

(*).

Так как С = l1 Ç l2, то A1x0 + B1y0 + C1 = 0 и A2x0 + B2y0 + C2 = 0. Отсюда -( A1x0 + B1y0) = С1, -( A2x0 + B2y0) = 0. Подставив в (*), получим уравнение данного пучка

(37)

В уравнении (37) тоже две пары переменных (a, b) и (х, у).

Задача. Дано: R = , l1 : 3х + 4у +12 = 0, l2 : 4х + 3у - 24 = 0, l3 : х + 2у + 3 = 0.

Найти уравнение прямой l, Если l ' (l1 Ç l2) и l ^ l3.

Решение. Так как l ' (l1 Ç l2), то l принадлежит пучку прямых, определяемому прямыми l1 и l2. Следовательно, уравнение l можно искать в виде

a(3х + 4у +12 ) + b(4х + 3у - 24) = 0 (*)

Преобразовав это уравнение, получим (3a + 4b)х + (4a +3b)у + (12a - 24b) = 0 (**).

Используем условие перпендикулярности прямых (33). Получим 1×(3a + 4b) + 2×(4a +3b) = 0, или 11a + 10b = 0. Так как все решения этого уравнения пропорциональны, а уравнение (*) при пропорциональных парах (a, b) задаёт одну и ту же прямую, то достаточно найти одну ненулевую пару (a, b). При a = 10 b = -11. Подставив в (**), получим уравнение

l : 14х - 4у - 384 = 0.

 

2.5. Геометрический смысл неравенств Ах + Ву + С ³ 0 (£ 0, >0, < 0)

Дано. R = , Ах + Ву + С ³ 0 (А и В н равны нулю одновременно) (38).

Исследовать, какую фигуру задаёт неравенство (38). Решение. Пусть l : Ах + Ву + С = 0. Если бы вектор был параллелен прямой l, то векторы и были бы коллинеарны. Но тогда . Отсюда А2 + В2 = 0, т.е. Рис. 30

А = В = 0, что противоречит условию. Итак, вектор не параллелен прямой (рис.30).

Рассмотрим множество всех точек плоскости, не лежащих на прямой l. Пусть М – любая из них. Пусть параллелен , где N Î l. Тогда = . При этом l > 0 Û точки М лежат в одной открытой полуплоскости с границей l, а именно в той в сторону которой направлен вектор . Перепишем последнее равенство в координатах. Если М (х, у), N (х0 , у0), то х - х0 = lА, у - у0 = lВ. Отсюда х0 = х - lА, у0 = у - lВ. Так как N Î l, то Ах0 + Ву0 + С = 0. Следовательно, А(х - lА) + В(у - lВ) + С = 0. Отсюда Ах + Ву + С = l (А2 + В2). Так как А2 + В2 > 0, то знак трёхчлена Ах + Ву + С совпадает со знаком l . Итак, Ах + Ву + С > 0 Û точка М (х, у) лежит в открытой полуплоскости с границей l, а именно в той в сторону которой направлен вектор . Неравенство Ах + Ву + С ³ 0 задаёт эту полуплоскость вместе с границей.