Векторное произведение векторов

Определение 20. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется положительно ориентированной (правой), если при откладывании этих векторов от одной точки кратчайший поворот от вектора к вектору с конца вектора виден против часовой стрелки. В противном случае данная тройка векторов называется отрицательно ориентированной (левой).

Определение 21. Векторным произведением упорядоченной пары неколлинеарных векторов и называется вектор , удовлетворяющий условиям:

,
упорядоченная тройка векторов положительно ориентирована.

Если векторы и коллинеарны, то их векторным произведением считается нулевой вектор.

Векторное произведение упорядоченной пары векторов и обозначается или [.

Примеры. 1. Пусть - положительно ориентированная тройка единичных взаимно перпендикулярных векторов (рис. 20). Найдём их попарные векторные произведения.

Пусть

. Тогда

. Кроме того

и тройка

- правая. Следовательно,

, т.е.

. Аналогично получим, что

. 2. АВСD - правильный тетраэдр с ребром 1 (из точки D обход точек А, В,С виден против часовой стрелки), [DO] - его высота. Найдём

Рис. 20

Решение. В правильном тетраэдре с ребром 1 длина высоты равна (т.е. ).

Пусть

. Тогда

(рис. 21). Кроме того,

, т.е.

½½

. Так как тройка векторов

должна быть правой, а тройка

левая, то вектор

противонаправлен с вектором

. Сравнивая длины векторов

, получаем

Рис. 21

Свойства векторного произведения векторов.

1⁰. Векторное произведение любой упорядоченной пары векторов определено и однозначно.

2⁰. = - для любых векторов и .

3⁰. для любых векторов и и любого действительного числа a .

4⁰. для любых векторов , и .

5⁰. = Û и коллинеарны.

6⁰. Если векторы

не коллинеарны, то длина вектора, равного их векторному произведению, численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах. Доказательство. (рис. 22). 7⁰. (Векторное произведение в координатах).

Рис. 22

Пусть В = - базис, , . Тогда

= )=

(9)

Если базис В = ортонормированный, то, используя пример 1, получим

= (10)

Задача 9. В ортонормированном базисе , , . Найдите () и .

Решение. Используем формулу (10). Получим

= , () = .

= , .

Из результатов решения этой задачи видно, что ()не обязано быть равно , т.е. векторное умножение векторов не подчиняется ассоциативному закону.

Задача 10. В параллелограмме АВСD угол ÐDАВ = 60⁰, , , , , AB = 6, AD = 4. Найдите площадь четырёхугольника MQNP и длину его высоты QE, опущенной из вершины Q.