Дисперсия дискретной случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Случайной величины

Закон распределения вероятностей дискретной

Законом распределения дискретной случайной величины (дсв) называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения дсв можно задать таблично, в виде формулы и графически. При табличном задании закона распределения дсв первая строка таблицы содержит возможные значения, вторая – их вероятности:

 

 

 

 

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться числами, которые описывают случайную величину суммарно. Такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К ним относятся: математическое ожидание, дисперсия.

 

Математическим ожиданием дсв называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности и обозначается .

Если дсв задана законом распределения

 

, то

Пусть произведено испытаний, в которых случайная величина приняла раз значение , раз значение , …, раз значение , причём + +…+ = . Тогда сумма всех значений, принятых , равна . Найдём среднее арифметическое всех значений . Итак, . Вероятностный смысл полученного результата таков: математическое ожидание приближённо равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е.

В самом деле, постоянную можно рассмотреть как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение и принимает его с вероятностью .

 

 

 

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. .

 

 

.

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

Если , то

 

 

 

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых, т.е. .

Если , то

 

 

+

, т.к. .

5. Математическое ожидание числа появлений события А в независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытаний, т.е.

 

Математическое ожидание, или среднее значение, случайной величины в ряде вопросов является достаточной характеристикой изучаемой случайной величины. Но бывает так, что одно среднее значение не даёт практически исчерпывающей характеристики случайной величины, а требуется ещё знать, сколь велики отклонения отдельных значений случайной величины от её математического ожидания.

Например, по данным статистического наблюдения изучается: средний рост или вес человека в определённой группе. Результаты опыта или наблюдения может считаться удачным, если возможные значения случайной величины незначительно отличаются от математического ожидания. Поэтому возникает необходимость введения ещё понятия отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Отклонением называют разность между случайной величиной и её математическим ожиданием: .

Это отклонение характеризует рассеяние случайной величины. На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение, т.е. математическое ожидание отклонения.

Покажем, что математическое ожидание отклонения равно нулю. В самом деле . Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие – отрицательны; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю. Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. В случае замены абсолютными значениями приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьёзным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называют дисперсией.

Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания и обозначают . Таким образом:

При решении практических задач часто пользуются немного видоизменённой формулой дисперсии, а именно: . При преобразовании было учтено, что математическое ожидание есть постоянная величина, а значит, есть также постоянные величины. Итак,

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. .

В самом деле .