Формула Пуассона

.

Локальная теорема Лапласа

Формула Бернулли

Повторение испытаний

.

Полученные формулы называютсяформулами Бейеса, которые позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

 

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события А в каждом испытании одна и та же, и равна . Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и равна .

Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что при испытаниях событие А осуществится ровно раз и, следовательно, не осуществится раз, причём совсем не требуется, чтобы событие А повторилось ровно раз в определённой последовательности. Такая вероятность обозначается .

 

Поставленную задачу можно решить с помощью так называемой формулы Бернулли. Вероятность сложного события, состоящего в том, что в испытаниях событие А наступит раз и не наступит раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна . Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить . Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. А так как вероятности этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число: .

 

 

Полученная формула называется формулой Бернулли.

 

 

Формула Бернулли применяется, как правило, при небольших значениях . Если число испытаний достаточно велико, то в этом случае применяется локальная теорема Лапласа:

Теорема. Если вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится виспытаниях ровнораз , приближённо равна значению функции

.

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента . Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, т.к. функция четна, т.е. .

Итак, вероятность того, что событие А появится в независимых испытаниях ровно раз, приближённо равна

 

Чуть изменим условие поставленной задачи, а именно, найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала ( ), событие наступит ровно раз. В этих случаях ( велико, прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Сделаем важное допущение: произведение сохраняет постоянное значение, а именно, Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления интересующей нас вероятности: (т.к. , то ) = . Приняв во внимание, что имеет большое значение, вместо найдём . При этом будет найдено лишь приближённое значение отыскиваемой вероятности: хотя и велико, но конечно, а при отыскании предела мы устремим к бесконечности. Заметим, что поскольку произведение , сохраняет постоянное значение, то при вероятность . Итак,