Формула Бейеса

Формула полной вероятности

Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Доказательство. Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие (А+В) наступит, если наступит одно из следующих трёх несовместных событий: , или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:

(1)

Событие А произойдёт, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий получим:

, откуда

(2)

Аналогично имеем , откуда

. (3)

Подставив (2) и (3) в (1), получим .

Объединяя доказанные теоремы, имеем:

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂, … ,, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий,, … ,, т.е..

Доказательство. Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А₁, А₂, … , . События А и … (ни одно из событий не наступило) противоположны, значит, сумма их вероятностей равна единице: … ) =1. Отсюда … ) = ) … p( ) = .

Замечание. Если события , , … , имеют одинаковую вероятность, равную

то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности события А. Требуется найти вероятность события А. На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Доказательство. По условию теоремы, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий , т.е. появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий . По теореме сложения = ) .

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, … , В_n, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Допустим, что в результате испытания появилось событие А. Возникает задача, как изменились вероятности самих гипотез в результате наступления события А. Другими словами надо найти условные вероятности , где .

По теореме умножения зависимых событий имеем

Отсюда , зная, что , получим