Закон Гука для сдвига. Модуль сдвига

Лекция 24 Упругие уравнения

Пример 2. Найти область сходимости функционального ряда .

Решение. Общий член ряда . Тогда последующий член ряда получается

заменой на : Вычислим предел

По признаку Даламбера ряд сходится, если т. е. должно выполняться неравенство Преобразуя последнее неравенс-

тво к виду получаем, что в области

ряд сходится абсолютно. Исследуем сходимость ряда на концах интервала.
При ряд имеет вид . Это сходящийся ряд обобщенный гармонический ряд ( ).
При ряд имеет вид . Это знакочередующийся ряд, который сходится абсолютно, так как ряд, составленный из модулей сходится. Таким образом, область сходимости исходного функционального ряда будет такой: Заметим, что нашу задачу можно было бы решить, сделав в исходном ряде замену Тогда получим так называемый степенной ряд который будет сходиться в области На следующей лекции будет показано, что этот ряд будет сходиться равномерно на любом отрезке

[1] Впредь ковычки будем опускать.

Нам уже известен закон Гука в виде:

Он устанавливает связь между нормальным напряжением при растяжении (сжатии) в каком-либо направлении и соответствующим относительным удлинением (укорочением) . Аналогично можно сделать допущение о связи, существующей между касательным напряжением при чистом сдвиге и соответствующим углом сдвига . Эта связь также считается линейной.

Закон Гука для касательных напряжений напишем в виде:

И будем применять его для любой прямоугольной частицы, на гранях которой попарно действуют касательные напряжения , вызывающие сдвиг . коэффициент пропорциональности G называется модулем сдвига и является величиной такого же рода, как и модуль Юнга Е, и измеряется также в МПа.

Таким образом, мы предполагаем, что относительное удлинение зависит от нормального напряжения, а сдвиг от касательного напряжения. Поэтому для характеристики идеально упругого тела необходимы три константы: модуль упругости Е, коэффициент Пуассона (поперечной деформации) и модуль сдвига G.

Эти величины связаны между собой. Рассмотрим случай, когда частица с квадратным поперечным сечением растягивается в одном направлении напряжением , а в другом, перпендикулярным к первому сжимается напряжением , и принимает форму прямоугольника (рис.1).

Рис.1

Наибольшие касательные напряжения лежат в плоскостях, образующих углы с нормальными напряжениями и . Из известного соотношения:

Следует, что

Т.е. , и нормальные напряжения в указанных плоскостях отсутствуют. Следовательно, при помощи этих плоскостей во взятом квадрате можно выделить квадрат, который будет находиться в условиях чистого сдвига (рис.2). Этот квадрат под действием касательных напряжений примет форму ромба (рис.1).

Рис.2

Очевидно, что деформация такого квадрата под действием касательных напряжений и деформация основного квадрата под действием нормальных напряжений совпадают между собой. Исходя из этого, можно найти связь между величинами Е, G.

Вертикальная сторона основного квадрата получает относительное удлинение , связанное с растягивающим напряжением , и относительное поперечное расширение , связанное со сжимающим напряжением . следовательно, полное относительное удлинение вертикальной стороны квадрата равно , поэтому: