Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
Свойства абсолютно сходящихся рядов. Функциональные ряды. Поточечная и равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса
Лекция 2. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема Лейбница и оценка остаточного члена знакочередующегося ряда.
Если ряд содержит бесконечное число положительных и бесконечное число отрицательных членов то этот ряд называется знакопеременным рядом.
Определение 1.Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится его “модульный” ряд Если же ряд сходится, а его “модульный”[1] ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.
Теорема 1(об обычной сходимости абсолютно сходящегося ряда). Если сходится модульный ряд , то сходится и сам ряд
Доказательство.Так как сходится ряд то для него справедлив признак Коши сходимости:
Тогда для ряда и указанного имеем
т.е. для ряда также выполняется признак Коши сходимости, поэтому он сходится. Теорема доказана.
Например, ряд абсолютно сходится, так как сходится его модульный ряд В качестве условно сходящегося ряда можно указать ряд (его сходимость вытекает из теоремы Лейбница, сформулированной ниже). Его модульный ряд расходится.
С абсолютно сходящимися рядами можно обращаться так же, как и с конечными суммами, а именно: имеют место следующие свойства абсолютно сходящихся рядов.
1. Если ряд сходится абсолютно, то в нем можно произвольным образом переставлять слагаемые; при этом вновь полученный ряд будет также сходиться абсолютно к той же сумме, что и исходный ряд.
2. Если ряд сходится абсолютно, то в нем можно произвольным образом группировать члены, заключая их в скобки; при этом ряд, полученный из просуммированных членов в скобках, будет также абсолютно сходиться к той же сумме, что и исходный ряд.
Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают.
Теорема Римана.Если ряд сходится условно, то каково бы ни было наперед заданное число ( может быть равным ), можно так переставить члены этого ряда, что вновь полученный ряд будет сходиться к числу
Ряд называется знакочередующимся, если все его члены и чередуются знаками, т.е.
Таким образом, знакочередующийся ряд имеет вид
Теорема Лейбница.Пусть в знакочередующемся ряде (1) общий член стремится к нулю, т.е. и последовательность строго убывает, т.е.
Тогда ряд (1) сходится и его сумма и й остаток удовлетворяют неравенствам При этом имеет знак (знак первого отброшенного члена ).
Доказательство. Запишем частичную сумму с чётными номерами и расставим в ней скобки следующим образом:
Так как имеют место неравенства (2), то из первого представления в виде суммы скобок получаем, что и т.е. последовательность строго возрастает. Из второго представ-
ления (3) и неравенств (2) выводим неравенства Таким образом, последовательность строго возрастает и ограничена сверху, поэтому (см. свойство 7 предыдущей лекции) она имеет конечный предел Так как и так как то существует предел Значит, существует пре-
дел всей последовательности и поэтому ряд (1) сходится к сумме
Аналогично показываем, что последовательность частичных сумм ряда (1) с нечетными номерами:
строго убывает. Вследствие строго убывания последовательности и строго возрастания последовательности и стремления их к пределу будут выполняться неравенства поэтому (в частности при ) будем иметь
Первая часть теоремы доказана. Применив её к знакочередующемуся ряду легко докажем и вторую часть теоремы, т.е. неравенство Теорема полностью доказана.
Пример 1.Вычислить сумму ряда с точностью до 0,01.
Решение.Данный ряд сходится абсолютно, так его модульный ряд является обобщенным гармоническим рядом с показателем В то же время данный ряд является знакочередующимся. Для него выполнены все условия теоремы Лейбница, поэтому его остаток может быть оценен следующим образом: Мы хотим, чтобы Для этого надо взять такое чтобы откуда выводим, что Значит, частичная сумма будет решением нашей задачи.