Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа.

· Возведение комплексного числа в целую положительную степень Формула Муавра

в алгебраической форме zⁿ=(а+i·b)ⁿ – по формулам сокращенного умножения;

в тригонометрической форме [r(cosj+isinj)]ⁿ=rⁿ(cosnj+isinnj).

при возведении комплексного числа (в тригонометрической форме) в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

 

· Извлечение корня n-ой из комплексного числа

в алгебраической форме не представляется возможным;

 

в тригонометрической форме

Определение: Корнем п-й степенииз комплексного числа называется такое комплексное число, п-я степень которого равняется подкоренному числу, т. е.

Придавая k значения 0, 1, 2, ..., n-1, получим n различных значений корня. Для других значений k аргументы будут отличаться от полученных на число, кратное 2p, и, следовательно, получатся значения корня, совпадающие с рассмотренными.

Итак, корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений.

 

Корень n-й степени из действительного числа А, отличного от нуля, также имеет п значений, так как действительное число является частным случаем комплексного и может быть представлено в тригонометрической форме:

A=|A|(cos0+isin0) при А>0,

A=|A|(cosp+isinp) при А<0.

 

 

Например: Вычислить все корни третьей степени из комплексного числа z=-3-3i.

 

Например: Вычислить все корни второй степени из комплексного числа z=-9.