Тригонометрическая форма комплексного числа.
Геометрическое изображение комплексных чисел.
Всякое вещественное число геометрически можно изобразить точкой на вещественной оси и, обратно, каждой точке на оси соответствует вещественное число.
Всякое комплексное число z=а+ib можно изобразить на плоскости Оху в виде точки А(а, b) с координатами а и b. Обратно, каждой точке плоскости М(х, у) соответствует комплексное число z=х+iу.
Определение 1Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостью комплексного переменногоz.
Точкам плоскости комплексного переменного z, лежащим на оси Ох, соответствуют действительные числа (b=0).
Точкам плоскости комплексного переменного z, лежащим на оси Оу, соответствуют чисто мнимые числа (a=0).
Определение 2:На плоскости комплексного переменного z ось Оу называют мнимой осью,а ось Ох называют действительной осью.
Соединив точку А(а, b) с началом координат, получим вектор ОА, который принято считать геометрическим изображением комплексного числа z=а+ib.
Кроме записи z=а+ib употребляют z=х+iу.
Итак, геометрическим изображением комплексного числа z=а+ib является вектор, начало которого в точке (0; 0), а конец в точке (а; b). Любой вектор имеет две характеристики: модуль и направление.
Длина вектора, изображающего комплексное число z, называется модулем (абсолютной величиной) комплексного числа и обозначается r=|z.
Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором, изображающего комплексное число z, называется аргументом комплексного числа и обозначается j=argz.
Тогда а=rcosj, b=rsinj, а следовательно, комплексное число z можно представить в форме: а+ib=rcosj+irsinj или z=r(cosj+isinj).
Определение 1:Выражение z=r(cosj+isinj), называется тригонометрической формой записикомплексного числа z=а+ib.
Величины r и j выражаются через а и b, очевидно, так:
Аргумент комплексного числа считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки, и отрицательным при противоположном направлении отсчёта. Очевидно, что аргумент j определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого 2pk, где k — любое целое число.
Замечание:Сопряженные комплексные числа а+ib и а-ib имеют равные модули, а их аргументы равны по абсолютной величине, но отличаются знаком.
Действительное число А так же может быть записано в тригонометрической форме комплексного числа, а именно:
A=|A|(cos0+isin0) при А>0,
A=|A|(cosp+isinp) при А<0.
Модуль комплексного числа 0 равняется нулю 0: |0|=0. В качестве же аргумента нуля можно взять любой угол j. Действительно, для любого угла j имеет место равенство: 0=0(cosj+isinj).
Кроме алгебраической и тригонометрической форм комплексного числа имеет место показательная форма комплексного числа.
Определение 2:Выражение r·еij, называется показательной (экспоненциальной) формой записикомплексного числа z=а+ib; r называется модулем,комплексного числа z, j — аргументом комплексного числа z.
z=r(cosj+isinj)=r·еij.