Степенные ряды
Определение:Степенным рядом называется ряд вида 
, где 
- коэффициент степенного ряда, зависит от n и не зависит от х.
Степенной ряд является частным случаем функционального ряда, поэтому естественно поставить вопрос об области сходимости степенного ряда и его равномерной сходимости. Ответ на вопрос какой вид имеет область сходимости степенного ряда дает теорема Абеля.
Теорема Абеля:
Если сходится в точке 
он сходится во всех точках, удовлетворяющих неравенству 
. Если расходится в точке он расходится во всех точках, удовлетворяющих неравенству 
.
Доказательство:
Пусть сходится в точке будет сходится ряд 
по необходимому признаку сходимости 
числовая последовательность 
- ограничена, т.е существует число M>0, что 
сразу для всех n.
Возьмем любое х удовл. и рассмотрим 
из абсолютных величин.
Оценим общий член этого ряда: 
Ряд из членов геометрической прогрессии 
со знаменателем 
сходится исходный тоже сходится по I признаку сравнения, т.к его члены меньше членов сходящегося рядасходится абсолютно.
Пусть расходится в точке.
Возьмем любое х удовл. , нужно доказать, что расходится при любом х, удовлетворяющем .
Предположим противное: - сходится по 1 части доказательства он будет сходится в точке .
Полученное противоречие доказывает теорему.
Конец доказательства.
Из теоремы Абеля что если степенной сходится в он сходится в точке удовлетворяющей неравенству :
сходится расходится
расходится . .
0 
Если расходится в точке , тогда он расходится
Вывод:существует интервал с центром в точке 0, радиусом R, внутри которого степенной ряд сходится, и вне которого расходится. Такой интервал называется интервалом сходимости степенного ряда, а R – радиусом сходимости степенного ряда. Укажем метод нахождения интервала сходимости.