П. 2. Условия существования оригинала и вычисление интеграла Меллина.

Теорема 5.(условие существование оригинала) Пусть функция F(p) комплексного переменного p = x + iy удовлетворяет следующим условиям:

1) F(p) – аналитическая функция в области ,

2) в области при равномерно относительно arg p,

3) для всех сходится интеграл ,

тогда F(p) при является изображением функции f(t) действительного переменного t, которая определяется выражением (8).

(без доказательства)

 

Во многих случаях интеграл Меллина может быть вычислен с помощью контурных интегралов от функции комплексного переменного. Но непосредственное применение формулы обращения часто затруднительно, поэтому пользуются теоремами разложения, являющимися следствиями теоремы 3.

 

Теорема 6. (вторая теорема разложнения). Если изображение F(p) является однозначной функцией и имеет лишь конечное число особых точек p₁, p₂, …, p_n, лежащих в конечной части плоскости, то

(9)

(без доказательства)

Теорема 6. (первая теорема разложнения, случай регулярной на бесконечности функции). Если функция F(p) аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки и ее разложение в ряд Лорана в окрестности точки имеет вид

, (10)

то функция

(11)

является оригиналом f(t) данной функции F(p) .

(без доказательства)

Замечание.Еслиразложение аналитической функции F(p) в ряд Лорана в окрестности точки имеет вид

, (12)

то ее оригиналом f(t) является функция

. (13)