Замечания.

1) f(t) может быть комплексной функцией действительного переменного t: f(t) = f₁(t) + if₂(t), где f₁(t) и f₂(t) – действительные функции.

2) Умножение f(t) на любую степенную функцию вида не меняет ее степени роста.

3) Функции вида , , (k > 0) не могут рассматриваться в операционном исчислении, поскольку для них неравенство (1) не может быть выполнено для всех ни при каких постоянных М и .

4)

Определение 2.Преобразованием Лапласа заданной функции действительного переменного t, которая может принимать и комплексные значения, называется преобразование, ставящее в соответствие функции функцию F(p) комплексного переменного р, определенную с помощью интеграла:

. (2)

Данный интеграл называется интегралом Лапласа, а определяемая им функция F(p) называется образом или лапласовым изображением функции f(t) или просто изображением функции f(t).

Соответствие между оригиналом f(t) и его изображением F(p) символически записывается в виде: , или (3)

 

Уславливаются за значение оригинала f(t) во всякой его точке разрыва I рода t₀ принимать полусумму его предельных значений слева и справа от этой точки : при ; при t₀ = 0. При соблюдении этого условия соответствие между оригиналами и изображениями взаимно однозначно, т.е. всякому оригиналу соответствует единственное изображение и обратно.

 

Несобственный интеграл зависит от переменного р = α + iβ как от параметра и сходится не при всех значениях р, например, если , а , то интеграл расходится. Следовательно, стоит вопрос о сходимости интеграла и области определения F(p).

 

Теорема 1.Интеграл сходится абсолютно в области , где – показатель степени роста f(t), причем в области этот интеграл сходится равномерно.

(без доказательства)

Замечание.Сходимость интеграла обеспечивает условие (1).

 

Теорема 2.Изображение ЛапласаF(p) является аналитической функцией в полуплоскости , где – показатель степени роста оригинала f(t).

Лемма 1.Пусть функция f(t) действительного переменного t определена для всех , и пусть существует такое комплексное число p₀ , что сходится интеграл , тогда для всех р, удовлетворяющих условию , сходится и интеграл Лапласа .

(без доказательства)

 

Этой леммой расширили класс функций f(t), допускающих преобразование Лапласа. В качестве основного класса функций f(t), для которых строится преобразование Лапласа, рассматриваются функции, удовлетворяющие условию леммы.

 

Область определения F(p).С помощью преобразования (2) функция F(p) определена в полуплоскости комплексной плоскости (р) правее прямой , параллельной мнимой оси, т.е. в области .

 

Не всякая функция F(p) является изображением некоторой функции. Например, не существует оригинала для функции tg, так как полюсы тангенса расположены на всей вещественной прямой, а не справа от некоторой прямой .

 

Лемма 2.. (без доказательства)

Замечание.В практических приложениях часто пользуются преобразованием Хевисайда:

. (4)

Области определения функций и совпадают.