Решение интегральных уравнений

Интегральными уравнениями называют такие уравнения, в которых неизвестная функция y(t) стоит под знаком интеграла.

В некоторых случаях такие уравнения также могут быть решены средствами операционного исчисления. К таким уравнениям относятся, например, уравнения Вольтерра первого и второго рода, имеющие соответственно вид

, ( 20 )

. ( 21 )

Интеграл, стоящий здесь, представляет собой сверку функций g(t) и y(t), что облегчает решение этих интегральных уравнений операционным методом. Пусть и . Пользуясь свойствами умножения изображений и линейностью, получим изображающие уравнения

, .

Отсюда находим неизвестное изображение F(p)

, ,

по которому восстанавливаем искомую функцию y(t).

Пр. 22 Решить интегральное уравнение .

Решение. Левая часть уравнения есть свертка функций y(t) =: F(p) и =: . Учитываем, что t =:, и переходим к изображению уравнения. F(p)=F(p) = = =: 1- t = y(t) – решение уравнения.

Проверка: = = (-1 +) - (-1 - t +) = t .

Устные экзаменационные вопросы

 

1. Какие требования предъявляются к функции – оригиналу?

2. Дать определение преобразования Лапласа.

3. Почему преобразование Лапласа обладает свойством линейности?

4. Прочитать теорему подобия.

5. Прочитать теорему запаздывания.

6. Прочитать теорему смещения.

7. Теорема о дифференцировании оригинала.

8. Теорема о дифференцировании изображения.

9. Теорема об интегрировании оригинала.

10. Теорема об интегрировании изображения.

11. Определение свертки функций и её главное свойство.

12. Какое преимущество дает операционное исчисление при решении дифференциальных уравнений?

 

 

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

 

 

Кафедральные, базовые, опорные конспекты лекций

 

 

Авторский коллектив: Арсланов Ф.Х. , Гарифьянов Ф.Н. , Гимадиев Р.Ш. , Григорян С.А. , Желифонов М.П. , Никитин А.С. , Хамзин А.А.

 

 

Кафедра «Высшей математики» КГЭУ

 

2006 г.