Решение дифференциальных уравнений
Если дано линейное дифференциальное уравнение порядка n с постоян-ными коэффициентами
y(n) + a1y(n – 1) + . . . + a0y = 
(t) ( 15 )
где (t) является оригиналом (t) =: Ф(p) и заданы начальные условия вида y(0) = y0 , y`(0) = y1 , y``(0) = y2 , . . . , y(n – 1)(0) = yn – 1 ( задача Коши ), то решение уравнения y(t) так же полагаем оригиналом и y(t) =: F(p). Перейдем в ( 15 ) по формулам ( 7 ), ( 8 ), ( 9 ) к изображению производных и получим линейное уравнение относительно F(p) (изображающее уравнение). Решим это уравнения и по изображению определим оригинал y(t) =: F(p), который и является решением задачи Коши.
В случае ЛДУ второго порядка y`` + a y` + by = (t)( 16 )
имеем y(0) = y0 , y`(0) = y`0, y(t) =: F(p), (t) =: Ф(p). По формулам ( 6 ), ( 7 ) имеем y`(t) =: p F(p) - y0 , y ``(t) =: p2 F(p) – p y0 – y`0 и приходим к изобра- жающему уравнению
p2 F(p) – p y0 – y`0 + a[ p F(p) - y0 ] + b F(p) = Ф(p)
F(p) [ p2 + ap + b ] = Ф(p) + y`0 + (p + a) y0
Решение для изображения: F(p)= 
( 17 )
Пр.18 Решить ЛДУ y``+ 6y`+ 9y = 9e3t при условии y(0) = y`(0) = 0.
Решение 1. Пусть y(t) =: F(p), тогда y`(t) =: p F(p), y ``(t) =: p2 F(p), 9e3t =
(№3) и приходим к изображающему уравнению
p2 F(p) + 6p F(p) + 9 F(p) = или F(p)(p2 + 6p + 9) = . Решение представим в виде суммы простейших дробей
F(p) = 
= 
+ 
+ 
и просуммируем их.
Числитель A(p + 3)2 + B(p2 – 32) + C(p – 3) = 9 приводит к системе 3 уравнений
p2 | A + B = 0 A = ¼ Переход от изображения к оригиналу
p1 | 6A + C = 0 
B = - ¼ по формулам № 3, 8 дает
p0 | 9A – 9B – 3C = 9 C = - 3/2
y(t) = ¼ e3t - ¼ e - 3t - 3/2 t e-3t
Решение 2. Пустьy(t) =: F(p) и 9e3t =: Ф(p). Решение изображающего уравнения F(p)(p2 + 6p + 9) = Ф(p) представим в виде произведения двух изображений F(p) = 
Ф(p), которые соответствуют функциям t e-3t и 9e3t. Оригинал решения есть свертка этих функций: y(t) =
= = 9
= 9 e3t 
= 
= =9 e3t{
} =¼ e3t - ¼ e - 3t - 3/2 t e-3t
Задачи для самостоятельного решения
Пр. 19 y``- 2y` - y = e3t при условии y(0) = 0 , y`(0) = 0
Ответ: F(p) = 
, y(t) = 1/16 e-t - 1/16 e3t - ¼ t e3t
Пр. 20 y``+ y` - 2 y = et при условии y(0) = 0 , y`(0) = 1
Ответ: F(p) = 1/ (p2 – 1) , y(t) = sh t