Свертка функций

Опр. Сверткой функций f₁(t) и f₂(t) наз. интеграл от произведения этих функций f₁(t)*f₂(t). Перестановка функций не меняет значения свертки.

Теорема о свертке Изображение свертки двух оригиналов равно произведению их изображений, т.е. если f₁(t) =: F₁(p), f₂(t) =: F₂(p) , то

 

f₁(t)*f₂(t) =: F₁(p) F₂(p) ( 14 )

 

Доказательство. Обе части формулы преобразований Лапласа F₁(p) = умножим на F₂(p):F₁(p)F₂(p) =. По теореме запаздывания ( 4 ) =: f₂(t -)или ==,где t> .Тогда F₁(p)F₂(p)= ==: ,т.к. при >t f₂(t - ) = 0 по 1⁰ свойству оригинала.

Пр.17 Найти оригинал изображения F(p) = .

Решение 1. Имеем произведение изображений двух функций t и e^at.Поэтому оригинал равен свертке этих функций f(t) = t* e^at == t- = J₁ - J_{2 ,}

J₁ = t= t - ; J₂ = = =

= - = t- + . Ответ f(t) = - - .

Решение 2. Представим изображение в виде суммы простейших дробей : F(p) ==++,тогда Ap(p – a) + B(p – a) + Cp² = 1

p² | A + C = 0 A = - 1/a²

p¹ | -aA + B = 0 B = -1/a По формулам № 1, 2, 3 получаем оригинал

p⁰ | - aB = 1 C = 1/a² f(t)= - - +