Дифференцирование оригиналов и изображений

Теорема о дифференцировании оригинала Пусть оригинал f(t) и его производная f `(t) имеют одинаковый показатель роста s_0,тогда их изображения имеют простую алгебраическую связь

 

f `(t) =: p F(p) - f(0)( 7 )

Доказательство.

f `(t) =: = ==

= [ f(t)e^-pt |₀^b + p ] = p F(p) - f(0) + f(b) e^-pb,

но последнее слагаемое обращается в 0 , т.к. Re p = s > s₀ .

 

Пр.14 Найти изображение cos t с учетом равенства cos t = (sin t)`

cos t = (sin t)` =: p - sin 0 =

Вычислим изображение 2 производной оригинала по формуле ( 7 )

 

f ``(t) =: p[ pF(p) - f(0) ] - f `(0) = p<sup>2</sup> F(p) – p f(0) – f `(0) ( 8 )

 

Переходя к производным высших порядков, получаем общую формулу

 

f⁽ⁿ⁾(t) =: pⁿ F(p) - p^{n – 1f}(0) - p^{n – 2f} `(0) - . . . - f^{(n – 1)}(0) , Re p > s₀ ( 9 )

Теорема о дифференцировании изображения Дифференцирование изображения приводит к оригиналу, который отличается от исходного оригинала только общим множителем -t :

F`(p)=: -tf(t)( 10 )

 

К ( 10 ) приводит дифференцирование по p левой и правой части равенства ( 1 ). Повторные дифференцирования дают формулу

 

.( 11 )

 

Пр.15 Найти изображение для t sin at , t cos at , t e^at .

 

Т.к. sin at умножается на t, то достаточно продифференцировать его изображение

t sin at=:- ()` = ( формула № 10)

t cos at =:- ()` = ( формула № 9)

t e^at =: - ()` =( формула № 8)